复数列

复数列是每一项均为复数的数列，是实数列在复数形式下的推广。

复数列的极限

称复平面上的点集$E$中的一个无穷点列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$收敛到$z_0$，如果$\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时，有$|z_n - z_0| < \varepsilon.$

一个收敛点列一定是有界的，即$\exists M > 0, \{ z_n \}_{n=1}^\infty \subset N_M (z_0)$；点列如果收敛，那必然只会收敛到一点，这一点称为该收敛点列的极限点。

收敛的充要条件

一个复数列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$收敛到$z_0 = x_0 + \text{i} y_0$当且仅当这个数列的实部和虚部对应的实数列$\{ x_n \}_{n=1}^\infty$与$\{ y_n \}_{n=1}^\infty$分别收敛到$x_0$以及$y_0$，这是因为$|x_n - x_0| \leqslant |z_n - z_0|, |y_n - y_0| \leqslant |z_n - z_0|$以及$|z_n - z_0| \leqslant |x_n - x_0| + |y_n - y_0|.$

同时，复数列收敛也有 Cauchy 收敛准则，它是说一个复数列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$收敛的充要条件是$\forall \varepsilon > 0, \exists N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时，有$|z_{n+p} - z_n| < \varepsilon, p = 1,2,\cdots.$

如果一个复数列$\{ z_n \}_{n=1}^\infty$收敛，那么$\{ |z_n| \}_{n=1}^\infty$亦收敛，反之不真。但是，下述充要条件是成立的： $\{ z_n \}_{n=1}^\infty$收敛于$r\text{e}^{\text{i}\theta}, r \leqslant 0, \theta \in \R$的充要条件是模长数列和辐角数列分别收敛，即$\lim_{n \to \infty} |z_n| = r, \lim_{n \to \infty} \arg z_n = \theta$。辐角数列收敛的确切含义是对于每个$\operatorname{Arg} z_n$，总可以选取适当的一个值$\arg z_n$，使得$\{ \arg z_n \}_{n=1}^\infty$收敛到$\theta.$

聚点定理

聚点定理可以引入到复数列中，即一个有界的复数列一定有一个收敛子列。

广义极限

一个无穷点列不以$z_0$为极限，是指$\exists \varepsilon_0 > 0, \forall N \in \N^+$，当$n > N$时，有$|z_n - z_0| > \varepsilon_0.$一个无穷点列没有极限，是指$\exists \varepsilon_0 > 0, \forall N \in \N^+$，$\forall z_0 \in \C$当$n > N$时，有$|z_n - z_0| > \varepsilon_0.$

如果一个数列发散到无穷，称它有广义极限$\infty$，记作$\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$，等价于$\forall M > 0, \exists N \in \N^+$，当$n > N$时$|z| > M$，这种数列是无界的。实际上，$\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$等价于$\lim_{n \to \infty} |z_n| = \infty.$

典例

可以证明，等比数列$\{ a_0 z^n \}_{n=0}^{\infty}$可以推广到复数列中，当$a_0, z \in \C, |z| < 1$时，它依旧是收敛的，当$z\neq0$时可以求和$\sum_{k=0}^n a_0 z_k = \dfrac{a_0(1-z^n)}{1-z}$，一般的，有 $$\lim_{n \to \infty} z^n = \begin{cases} 0, & |z| < 1,\\ 1, & z = 1,\\ \infty, & |z| > 1,\\ \text{not exist}, & |z| = 1, z \ne 1. \end{cases}$$ 另一个有用的复数列是$\left\{ \left( 1 + \dfrac{z}{n} \right)^n \right\}_{n=1}^\infty$，像实数中的情形一样，可以用相似的证明它收敛，我们把这个收敛的极限值记作复指数 $$\text{e}^z := \lim_{n \to \infty} \left( 1 + \dfrac{z}{n} \right)^n, \quad \forall z \in \C.$$

上下节

• 上一节：复平面
• 下一节：欧拉公式

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.