在数学中，复数 （complex number）是重要的一类数，它是实数 的推广，其缘由是解决一类一元三次方程
x
3
+
p
x
+
q
=
0
{\displaystyle x^3 + px + q = 0}
概念 [ ] 在实数范围内，
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle x^2+1=0}
i
{\displaystyle \text{i}}
i
2
=
−
1
{\displaystyle \text{i}^2 = -1}
(
−
i
)
2
=
−
1
{\displaystyle (-\text{i})^2 = -1}
我们将形如
z
=
x
+
y
i
{\displaystyle z = x + y \text{i}}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z = x + \text{i} y}
复数 ，其中
x
,
y
∈
R
{\displaystyle x, y \in \R}
当
y
=
0
{\displaystyle y=0}
z
{\displaystyle z}
实数 ，因此实数是复数的一个特例；当
y
≠
0
{\displaystyle y \ne 0}
z
{\displaystyle z}
虚数 ，特别地，
x
=
0
,
y
≠
0
{\displaystyle x = 0, y \ne 0}
z
{\displaystyle z}
纯虚数 。
x
,
y
{\displaystyle x, y}
z
{\displaystyle z}
实部 （real part）和虚部 （imaginary part），我们分别记
x
=
Re
z
,
y
=
Im
z
.
{\displaystyle x = \operatorname{Re} z, y = \operatorname{Im} z.}
称
z
¯
:=
x
−
i
y
{\displaystyle \overline{z} := x - \text{i} y}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z = x + \text{i} y}
共轭复数 。自然也就是
x
+
i
y
¯
=
x
−
i
y
.
{\displaystyle \overline{x + \text{i} y} = x - \text{i} y.}
定义两个复数相等 （equal），当且仅当它们的实部和虚部分别相等。但是一般复数（尤其是涉及到虚数）是不能比较大小 的。
复数的运算 [ ] 以下总设
z
1
=
x
1
+
i
y
1
,
z
2
=
x
2
+
i
y
2
{\displaystyle z_1 = x_1 + \text{i} y_1, z_2 = x_2 + \text{i} y_2}
加法：
z
1
+
z
2
:=
(
x
1
+
x
2
)
+
i
(
y
1
+
y
2
)
{\displaystyle z_1 + z_2 := (x_1 + x_2) + \text{i} (y_1 + y_2)}
0
{\displaystyle 0}
乘法：简单地把
i
{\displaystyle \text{i}}
z
1
⋅
z
2
=
(
x
1
+
i
y
1
)
(
x
2
+
i
y
2
)
=
(
x
1
x
2
−
y
1
y
2
)
+
i
(
x
1
y
2
+
x
2
y
1
)
.
{\displaystyle z_1 \cdot z_2 = (x_1 + \text{i} y_1) (x_2 + \text{i} y_2) = (x_1 x_2 - y_1 y_2) + \text{i} (x_1 y_2 + x_2 y_1).}
1.
{\displaystyle 1.}
除法：作为乘法的逆运算，当
z
2
≠
0
{\displaystyle z_2 \ne 0}
z
1
z
2
=
x
1
+
i
y
1
x
2
+
i
y
2
=
(
x
1
+
i
y
1
)
(
x
2
−
i
y
2
)
(
x
2
+
i
y
2
)
(
x
2
−
i
y
2
)
=
x
1
x
2
+
y
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
+
i
y
1
x
2
+
x
1
y
2
x
2
2
+
y
2
2
.
{\displaystyle \begin{align} \dfrac{z_1}{z_2} & = \dfrac{x_1 + \text{i} y_1}{x_2 + \text{i} y_2} \\ & = \dfrac{(x_1 + \text{i} y_1)(x_2 - \text{i} y_2)}{(x_2 + \text{i} y_2)(x_2 - \text{i} y_2)} \\ & = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2} + \text{i} \dfrac{y_1 x_2 + x_1 y_2}{x_2^2 + y_2^2}.\end{align}}
当复数的运算遇到共轭时，可以交换运算次序，也就是说：
z
1
+
z
2
¯
=
z
1
¯
+
z
2
¯
{\displaystyle \overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}}
z
1
⋅
z
2
¯
=
z
1
¯
⋅
z
2
¯
{\displaystyle \overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}}
(
z
1
z
2
)
¯
=
z
1
¯
z
2
¯
{\displaystyle \overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}}
复数的加法满足交换律以及结合律、有零元、每一个复数有对应的负元，且乘法满足交换律以及结合律、有单位元、非零元素有逆元，且乘法对加法有分配律，因此全体复数组成的集合连同复数的加法乘法构成一个域，我们称为复数域 （complex number field），通常记作
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
R
{\displaystyle \R}
没有序关系 。
定义虚数单位
i
{\displaystyle \text{i}}
C
{\displaystyle \mathbb{C}}
j
{\displaystyle \text{j}}
j
2
=
−
1
{\displaystyle \text{j}^2 = -1}
i
{\displaystyle \text{i}}
四元数集 。
复平面 [ ] 每一个复数有两个相互独立的实变量元素（即实部和虚部）控制，它可以看作是同构 于
R
2
{\displaystyle \mathbb R^{2}}
线性空间 ，在这种意义下我们可以参考二维的 Euclid 空间（即平面）来刻画复数，因此引入复平面 的概念。
假设有一张平面，其上有一个直角坐标系作用，平面上每一个点都和一个复数对应（就像实数和直线上的点对应那样），且每一个点的有序数对
(
x
,
y
)
{\displaystyle (x,y)}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z = x + \text{i} y}
复平面 ，这种对应关系是一一对应的，因此复数
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z = x + \text{i} y}
习惯上我们将复平面的复数
x
{\displaystyle x}
实轴 ，复数
y
{\displaystyle y}
虚轴 。又因为平面上的点给定坐标系后和一个起点在原点的向量对应，因此复数也可以和复平面上的向量建立一个一一对应关系，这个向量称作对应于复数的复向量 。复数、点、复向量这三个概念是等价的。
这样，复数的加法就是向量的加法，但注意乘法不是向量的叉乘或者点乘。
复数的模和辐角 [ ] 复平面上面的直角坐标系，如果换成极坐标系，就可以得到复数的另外一种表示——三角坐标表示。由于
{
x
=
r
cos
θ
,
y
=
r
sin
θ
,
{\displaystyle \begin{cases} x = r \cos \theta, \\ y = r \sin \theta, \end{cases}}
z
=
x
+
i
y
=
r
(
cos
θ
+
i
sin
θ
)
.
{\displaystyle z = x + \text{i} y = r (\cos \theta + \text{i} \sin \theta).}
我们把
r
=
x
2
+
y
2
{\displaystyle r = \sqrt{x^2 + y^2}}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z = x + \text{i} y}
模 ，记作
|
z
|
{\displaystyle |z|}
绝对值 概念的推广。
我们把复数
θ
{\displaystyle \theta}
z
=
x
+
i
y
{\displaystyle z = x + \text{i} y}
辐角 ，记作
Arg
z
{\displaystyle \operatorname{Arg} z}
三角函数 的周期性可知一个复数的辐角不是唯一的 ，但是它们之间仅相差
2
π
{\displaystyle 2\pi}
Arg
z
{\displaystyle \operatorname{Arg} z}
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi, \pi]}
z
{\displaystyle z}
辐角主值 ，记作
arg
z
.
{\displaystyle \arg z.}
arg
z
=
{
arctan
y
x
,
x
>
0
,
arctan
y
x
±
π
,
x
<
0
,
π
2
sgn
y
,
x
=
0
,
y
≠
0.
{\displaystyle \arg z={\begin{cases}\arctan {\dfrac {y}{x}},&x>0,\\\arctan {\dfrac {y}{x}}\pm \pi ,&x<0,\\{\dfrac {\pi }{2}}\operatorname {sgn} {y},&x=0,y\neq 0.\end{cases}}}
(
−
π
,
π
]
{\displaystyle (-\pi, \pi]}
0
{\displaystyle 0}
由此，我们可以得出有关模的不等式，诸如三角不等式
|
z
1
+
z
2
|
⩽
|
z
1
|
+
|
z
2
|
{\displaystyle |z_1 + z_2| \leqslant |z_1| + |z_2|}
|
z
|
=
0
{\displaystyle |z| = 0}
z
=
0
{\displaystyle z=0}
无零因子 的，即
z
1
z
2
=
0
{\displaystyle z_1 z_2 = 0}
0
{\displaystyle 0}
复数的对数表示 [ ] 在极坐标的基础上，又由欧拉公式
e
i
θ
=
cos
θ
+
i
sin
θ
{\displaystyle \text{e}^{\text{i}\theta} = \cos \theta + \text{i} \sin \theta}
z
=
r
e
i
θ
{\displaystyle z = r \text{e}^{\text{i}\theta}}
z
=
|
z
|
e
i
Arg
z
.
{\displaystyle z = |z| \text{e}^{\text{i}\operatorname{Arg} z}.}
复对数 ，它是一个多值函数 ）。
我们把模长为
1
{\displaystyle 1}
单位复数 。
复数乘法的意义 [ ] 我们假设
z
1
=
r
1
e
i
θ
1
,
z
2
=
r
2
e
i
θ
2
{\displaystyle z_1 = r_1 \text{e}^{\text{i}\theta_1}, z_2 = r_2 \text{e}^{\text{i}\theta_2}}
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
+
θ
2
)
,
z
1
z
2
=
r
1
r
2
e
i
(
θ
1
−
θ
2
)
{\displaystyle z_1 z_2 = r_1 r_2 \text{e}^{\text{i}(\theta_1 + \theta_2)}, \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{r_1}{r_2} \text{e}^{\text{i}(\theta_1 - \theta_2)}}
因此我们也可看出，复数乘法的辐角关系式：
Arg
z
1
z
2
=
Arg
z
1
+
Arg
z
2
,
Arg
z
1
z
2
=
Arg
z
1
−
Arg
z
2
{\displaystyle \operatorname{Arg} z_1 z_2 = \operatorname{Arg} z_1 + \operatorname{Arg} z_2, \operatorname{Arg} \dfrac{z_1}{z_2} = \operatorname{Arg} z_1 - \operatorname{Arg} z_2}
A
±
B
{\displaystyle A \pm B}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
复数的乘法在用对数表示时有着它独特的几何意义：设
z
1
=
r
1
e
i
θ
1
{\displaystyle z_1 = r_1 \text{e}^{\text{i}\theta_1}}
z
{\displaystyle z}
z
{\displaystyle z}
|
z
1
|
{\displaystyle |z_1|}
θ
1
{\displaystyle \theta_1}
i
{\displaystyle \text{i}}
π
2
{\displaystyle \dfrac{\pi}{2}}
上下节 [ ] 参考资料 Template:Navbox/1101720
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Template:Navbox/1101740
Template:Navbox/1101760
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参考资料 
![{\displaystyle (-\pi ,\pi ]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/5934e7c0fcff12f7855d7b8552efc4bc997677f6)
