复指数系函数的几何形态

复变函数中我们把复指数函数、复三角函数以及复双曲三角函数统称为复指数系函数。我们已经知道复指数函数是从直角坐标系到极坐标的一个对应，复正弦函数是从直角坐标系到椭圆坐标系的一个对应，我们把这样的对应称作复指数系函数的几何形态，用来描述几何形态中的曲线族的方程（通常有两族）称为特征方程组，以下总设自变量$z_1 = a + \text{i} b, a,b \in \R.$

复指数函数

参见 复指数函数#几何意义。

复指数函数能将直角坐标系映成极坐标系，这个极坐标系中极轴是以$e$的指数次幂度量的，因此极轴都是从原点出发射向$\infty$的射线。

复正弦函数

复正弦函数的几何形态是直角坐标系$\to$椭圆坐标系，如图

我们已经在复三角函数中讨论过复正弦函数的上述图像的两个方程族是 $$\begin{cases} \left( \dfrac{x}{\sin a} \right)^2 - \left( \dfrac{y}{\cos a} \right)^2 = 1, \\ \left( \dfrac{x}{\cosh b} \right)^2 + \left( \dfrac{y}{\sinh b} \right)^2 = 1. \end{cases}$$ 它们是共焦的椭圆和双曲线（单支，且要考虑方向）。

当中绿线表示自变量的实部，称作坐标系的实轴，蓝线表示自变量的虚部，称作坐标系的虚轴，整个坐标系上的点都对应了一个$\sin z_1$。确定某一个复数的正弦值可以通过椭圆坐标系来确定，我们先确定它的方向，设$a = \operatorname{Re} z_1$，那么在坐标系中选取方向为$a$的蓝线（注意每条蓝线都是有向的单支双曲线），然后由$b$确定出椭圆的长轴与短轴，其交点即为$\sin z_1.$

有向单支双曲线指的是：自变量的实部决定了这个复数的正弦值在哪个单支双曲线上取得，双曲线的零点规定为曲线与水平线的交点，正方向规定为上图中标有角度的一侧（实际上，图中的一条的单支双曲线代表了两条方向相反的曲线的重合），另一侧为负方向。如果虚部为正数，就取正方向上的值，反之取负方向的值。如下图

由于复余弦函数和复正弦函数有关系：$\cos z = \sin \left( z + \dfrac{\pi}{2} \right)$，所以复余弦函数的几何形态和正弦函数相似，只是所有的虚轴沿着实轴顺时针行进了$\dfrac{\pi}{2}$个单位，因此要在图像上大致确定一个复数的余弦值，仅需先确定它的正弦值，再将这个点绕原点顺时针旋转$\dfrac{\pi}{2}$个单位即可，如图就是一个确定的复数分别取正弦以及余弦的图像：

复正切函数

和复指数函数以及复正弦函数类似的讨论可以知道复正弦函数的几何形态是直角坐标系$\to$两圆坐标系，如图

特征方程组是 $$\begin{cases} x^2 + \left[ y - \dfrac{1}{2} \left( \tanh b + \dfrac{1}{\tanh b} \right) \right]^2 = \left[ \dfrac{1}{2} \left( \tanh b - \dfrac{1}{\tanh b} \right) \right]^2, \\ \left[ x - \dfrac{1}{2} \left( \tan a + \dfrac{1}{\tan a} \right) \right]^2 + y^2 = \left[ \dfrac{1}{2} \left( \tan a - \dfrac{1}{\tan a} \right) \right]^2. \end{cases}$$ 显然，它们是互相正交的曲线族。

假设$z_2 = \tan z_1, z_2$在复平面中的位置的确定方法如下：首先，在$w$平面中描出点$A(0,\tanh b), P(0,\dfrac{1}{\tanh b}), E(\tan a, 0)$。然后，以$AP$为直径作圆（绿色部分），再以$(0,1), (0,-1), E$三点作圆弧（蓝色部分） 圆与圆弧的交点就是$\tan z_1.$

复余切函数和复正切函数有着相似的几何形态，以下是确定一个复数的余切的方法：

复正割函数

复正割函数的几何形态是将直角坐标系映到了如下正交的坐标系上去。

复双曲函数

由于有关系式 $$\begin{array}{rcl|rcl} \sinh z & = & -\text{i} \sin (\text{i}z) & \sin z & = & -\text{i} \sinh (\text{i}z) \\ \cosh z & = & \cos (\text{i}z) & \cos z & = & \cosh (\text{i}z) \\ \tanh z & = & -\text{i} \tan (\text{i}z) & \tan z & = & -\text{i} \tanh (\text{i}z). \end{array}$$ 因此在研究它们的几何意义时，只需要将实部与虚部交换再将目标坐标系调换位置即可转化为复三角函数。

我们可以看到，以上的复指数系函数的特征方程组中抽出任意两个分别属于不同曲线族的曲线，它们之间是正交的，反映在几何上，也就是不同颜色的曲线在它们交点处的切线是互相垂直的。这也就是说，复指数系函数把直角坐标系（这一坐标系也是正交的）又映成了正交的坐标系，我们称具有这样特点的复变函数有正交性。

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