復指數函數

在複變函數中，復指數函數是初等解析函數的一種，它是實數變量指數函數在複數域上的一種推廣。

復指數

設$z = x + \text{i} y \in \C$，由歐拉公式$\text{e}^{\text{i}\theta} = \cos \theta + \text{i} \sin \theta$，我們稱如下形式定義 $$\text{e}^z = \text{e}^{x + \text{i} y} := \text{e}^x (\cos y + \text{i} \sin y)$$ 是複數$z$的指數。

實部的指數$\text{e}^x$就是複數指數的模長，虛部的指數就是複數指數的輻角，因此，給定一個複數$z$，當且僅當有一個複數與$\text{e}^z$對應，我們把這個唯一的數就叫做$z$的指數。

復指數函數

複變函數$f(z) = \text{e}^z$是$\mathbb{C}$上的解析函數（容易驗證它的解析性），我們把這個函數叫做復指數函數。

函數$f(z) = \text{e}^z$是$\mathbb{C}$上的解析函數。

關於這個定理/命題的證明，單擊這裏以顯示/摺疊

$f(z) = \text{e}^z = u(x, y) + \text{i} v(x, y) = \text{e}^x (\cos y + \text{i} \sin y).$

所以 $u(x, y) = \text{e}^x \cos y, v(x, y) = \text{e}^x \sin y.$ 進而 $$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \text{e}^x \cos y, \dfrac{\partial u}{\partial y} = - \text{e}^x \sin y; \quad \dfrac{\partial v}{\partial x} = \text{e}^x \sin y, \dfrac{\partial v}{\partial y} = \text{e}^x \cos y$$ 在$\mathbb{C}$上可微且滿足 C.-R. 方程 $$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}.$$

因此$f(z) = \text{e}^z$是$\mathbb{C}$上的解析函數。

性質

復指數函數有許多和實指數函數類似的性質，它的特性有

1. $\forall z \in \C, (\text{e}^z)' = \text{e}^z;$
2. $\forall z_1,z_2 \in \C, \text{e}^{z_1z_2} = \text{e}^{z_1} \text{e}^{z_2};$
3. $|\text{e}^z| = \text{e}^{\operatorname{Re} z} > 0, \arg \text{e}^z = \operatorname{Im} z;$
4. $f(z) = \text{e}^z$是周期函數，它以$2 \pi \text{i}$為基本周期，即$\text{e}^{z+2\pi\text{i}} = \text{e}^z;$
5. $\forall k \in \Z, \text{e}^{2k\pi\text{i}} = 1, \text{e}^{(2k+1)\pi\text{i}} = -1;$
6. $\forall z \in \C, \forall n \in \N, (\text{e}^z)^n = \text{e}^{nz};$
7. $\forall z \in \C, \text{e}^z \ne 0$，但其值可以取到負數；
8. $\text{e}^{z_1} = \text{e}^{z_2} \iff z_1 - z_2 = 2 k \pi \text{i}, k \in \Z.$

幾何意義

復指數函數有着它獨特的幾何意義，由於實部的指數$\text{e}^x$就是複數指數的模長，虛部的指數就是複數指數的輻角，可知它其實是將平面直角坐標形式的點轉化為了極坐標形式的點，因此我們假設$w$平面（值域所在的平面）就選定為極坐標，和一般的極坐標不同的是，它的極軸上的刻度都是以指數（$\text{e}$的冪次）度量的，因此不會出現極軸反向取值的情形，即不會出現類似$(-1,\pi)$的表達形式的點。

這樣，我們就可以大膽地將復指數作用在整個$z$平面（這是一個直角坐標平面）上了，為此我們先考慮兩種特殊的自變量曲線情形：①平行於虛軸的直線；②平行於實軸的直線。以下我們總設自變量$z_1 = t_0 + t_1 \text{i}$，復指數函數是$z_2 = \text{e}^{z_1}$。在下方的圖中，我們將$z$平面與$w$平面重合，為了區分我們用虛線表示自變量曲線，實線表示因變量曲線。

①我們先看一個特殊的例子，$t_1 \in [-\pi, \pi), t_0 = 0$，這實際上就是將一段線段映成了單位圓，如圖。

由於$t_1$的周期性，當它取遍實數時，對應的因變量曲線上的點的輻角發生周期性變化，所以虛部變化在任何一個圓周期內，它的因變量曲線總是一個單位圓。

當$t_0$取到其它數值時，與上述不同的僅僅是軌跡圓的半徑$r = \text{e}^{t_0}$。下圖就是展示了$t_0 = 1$而$t_1$連續變化的情況。

②保持自變量的虛部$t_1$不變，改變實部$t_0$從負無窮取值到正無窮，如圖，在每一條因變量曲線（實線）上點跡的速度都是指數增長的，實際上，$|e^z| = e^{t_0}$，而虛部則表現在了輻角上：$\arg z_2 = t_1.$

如果自變量曲線是以上兩種的合成（例如，一般的直線），那麼因變量曲線也是圓以及徑線（這兩者之間也是獨立的）的合成，例如$z_1 = \dfrac{1}{10} t_1 + \text{i} t_1$被復指數函數作用後就是如下形式的圖線：

上下節

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參考資料

1. 鍾玉泉, 《複變函數論（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.