复指数函数

在复变函数中，复指数函数是初等解析函数的一种，它是实数变量指数函数在复数域上的一种推广。

复指数

设$z = x + \text{i} y \in \C$，由欧拉公式$\text{e}^{\text{i}\theta} = \cos \theta + \text{i} \sin \theta$，我们称如下形式定义 $$\text{e}^z = \text{e}^{x + \text{i} y} := \text{e}^x (\cos y + \text{i} \sin y)$$ 是复数$z$的指数。

实部的指数$\text{e}^x$就是复数指数的模长，虚部的指数就是复数指数的辐角，因此，给定一个复数$z$，当且仅当有一个复数与$\text{e}^z$对应，我们把这个唯一的数就叫做$z$的指数。

复指数函数

复变函数$f(z) = \text{e}^z$是$\mathbb{C}$上的解析函数（容易验证它的解析性），我们把这个函数叫做复指数函数。

函数$f(z) = \text{e}^z$是$\mathbb{C}$上的解析函数。

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

$f(z) = \text{e}^z = u(x, y) + \text{i} v(x, y) = \text{e}^x (\cos y + \text{i} \sin y).$

所以 $u(x, y) = \text{e}^x \cos y, v(x, y) = \text{e}^x \sin y.$ 进而 $$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \text{e}^x \cos y, \dfrac{\partial u}{\partial y} = - \text{e}^x \sin y; \quad \dfrac{\partial v}{\partial x} = \text{e}^x \sin y, \dfrac{\partial v}{\partial y} = \text{e}^x \cos y$$ 在$\mathbb{C}$上可微且满足 C.-R. 方程 $$\dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y} = -\dfrac{\partial v}{\partial x}.$$

因此$f(z) = \text{e}^z$是$\mathbb{C}$上的解析函数。

性质

复指数函数有许多和实指数函数类似的性质，它的特性有

1. $\forall z \in \C, (\text{e}^z)' = \text{e}^z;$
2. $\forall z_1,z_2 \in \C, \text{e}^{z_1z_2} = \text{e}^{z_1} \text{e}^{z_2};$
3. $|\text{e}^z| = \text{e}^{\operatorname{Re} z} > 0, \arg \text{e}^z = \operatorname{Im} z;$
4. $f(z) = \text{e}^z$是周期函数，它以$2 \pi \text{i}$为基本周期，即$\text{e}^{z+2\pi\text{i}} = \text{e}^z;$
5. $\forall k \in \Z, \text{e}^{2k\pi\text{i}} = 1, \text{e}^{(2k+1)\pi\text{i}} = -1;$
6. $\forall z \in \C, \forall n \in \N, (\text{e}^z)^n = \text{e}^{nz};$
7. $\forall z \in \C, \text{e}^z \ne 0$，但其值可以取到负数；
8. $\text{e}^{z_1} = \text{e}^{z_2} \iff z_1 - z_2 = 2 k \pi \text{i}, k \in \Z.$

几何意义

复指数函数有着它独特的几何意义，由于实部的指数$\text{e}^x$就是复数指数的模长，虚部的指数就是复数指数的辐角，可知它其实是将平面直角坐标形式的点转化为了极坐标形式的点，因此我们假设$w$平面（值域所在的平面）就选定为极坐标，和一般的极坐标不同的是，它的极轴上的刻度都是以指数（$\text{e}$的幂次）度量的，因此不会出现极轴反向取值的情形，即不会出现类似$(-1,\pi)$的表达形式的点。

这样，我们就可以大胆地将复指数作用在整个$z$平面（这是一个直角坐标平面）上了，为此我们先考虑两种特殊的自变量曲线情形：①平行于虚轴的直线；②平行于实轴的直线。以下我们总设自变量$z_1 = t_0 + t_1 \text{i}$，复指数函数是$z_2 = \text{e}^{z_1}$。在下方的图中，我们将$z$平面与$w$平面重合，为了区分我们用虚线表示自变量曲线，实线表示因变量曲线。

①我们先看一个特殊的例子，$t_1 \in [-\pi, \pi), t_0 = 0$，这实际上就是将一段线段映成了单位圆，如图。

由于$t_1$的周期性，当它取遍实数时，对应的因变量曲线上的点的辐角发生周期性变化，所以虚部变化在任何一个圆周期内，它的因变量曲线总是一个单位圆。

当$t_0$取到其它数值时，与上述不同的仅仅是轨迹圆的半径$r = \text{e}^{t_0}$。下图就是展示了$t_0 = 1$而$t_1$连续变化的情况。

②保持自变量的虚部$t_1$不变，改变实部$t_0$从负无穷取值到正无穷，如图，在每一条因变量曲线（实线）上点迹的速度都是指数增长的，实际上，$|e^z| = e^{t_0}$，而虚部则表现在了辐角上：$\arg z_2 = t_1.$

如果自变量曲线是以上两种的合成（例如，一般的直线），那么因变量曲线也是圆以及径线（这两者之间也是独立的）的合成，例如$z_1 = \dfrac{1}{10} t_1 + \text{i} t_1$被复指数函数作用后就是如下形式的图线：

上下节

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• 下一节：复三角函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.