复平面

复平面是实数轴的推广，在研究复变函数的有关问题时我们需要先定义一些基本概念，这些概念是以后研究复变函数的基础。

平面点集

我们将平面上的某些点组成的集合称为平面点集，简称点集，例如，平面上的一条曲线、一个区域都是点集。

邻域

复平面上邻域的概念是实变函数中邻域概念的推广，我们称满足不等式$|z - z_0| < \delta$的所有点的集合称为$z_0$的$\delta$邻域，它是以$z_0$为圆心，$\delta$为半径的圆形区域，记作$N_\delta (z_0)$。特别地，如果选取的区域是$0 < |z - z_0| < \delta$，就称这个集合是$z_0$的去心邻域，记作$N_\delta (z_0) - \{ z_0 \}$。

邻域的概念是复变函数极限理论的基础。

聚点

称$z_0$为点集$E$的聚点或极限点，如果有$\forall r > 0, N_r (z_0) \cap (E-\{ z_0 \})$，聚点不必在点集$E$中，例如$z_0$的任意一个去心邻域都以$z_0$为聚点，与聚点有关的定理是聚点定理。若$\exists r > 0, N_r (z_0) \subseteq E$，则它是$E$的内点，内点$z_0$一定是点集$E$的聚点。

如果$z_0$不是$E$的聚点：分为两种情况，若$z_0 \in E$，称作点集$E$的孤立点；若$z_0 \notin E$，称作点集$E$的外点。

若$z_0$既不是$E$的内点，也不是$E$的外点，称其为$E$的界点，与界点有关的定理是界点定理。所有界点共同组成了$E$的边界，记作$\partial E$。

习惯上我们把点集$E$的所有聚点组成的点集用$E'$表示。

闭集

若$E$的每一点都是它的内点，称$E$为开集，如果$E' \subseteq E$，则称$E$为闭集，$E$的边界都是闭集。

如果$E$的所有点都含于某个圆形区域中，就称$E$为有界集，反之为无界集。有界集大小的一个度量是有界集的直径，它被定义为$d(E) = \sup_{z_1, z_2 \in E} | z_1 - z_2 |.$

曲线

在平面上的曲线是通过参数方程确定的，设$x(t), y(t)$是关于$t$的连续实函数，且$\alpha \leqslant t \leqslant \beta$（不必取等号），那么通过方程

$$z = x(t) + \text{i} y(t) = z(t)$$

确定的一条参数曲线称为复平面上的连续曲线，以上方程也叫做曲线的参数方程，$z(\alpha), z(\beta)$分别叫做曲线的起点和终点，如果$z(\alpha) = z(\beta)$那么称这条曲线是闭曲线。

如果存在$\alpha < t_1 < \beta, \alpha \leqslant t_2 \leqslant \beta, t_1 \ne t_2$，满足$z(t_1) = z(t_2)$，那么称点$z(t_1)$为这条曲线的重点，没有重点的曲线称为简单曲线或 Jordan 曲线。例如线段，圆弧段都是简单曲线，圆是简单闭曲线。

光滑曲线

如果连续曲线

$$z = x(t) + \text{i} y(t) = z(t), \alpha \leqslant t \leqslant \beta$$

在$\alpha \leqslant t \leqslant \beta$上导数$x'(t), y'(t)$存在且连续、不全为零（特别地，在端点处是指单侧导数），我们就称这条曲线是光滑曲线，光滑曲线一定是可求长的。

如果一条曲线是由有限条光滑曲线拼接而成，那么这条曲线称为逐段光滑曲线，它也是可求长的。

曲线的内部与外部

一条简单闭曲线$C$能够将复平面分为彼此不交的三部分，分别是曲线本身、一个有界区域（称为曲线的内部）以及一个无界区域（称为曲线的外部），且分别连接内部与外部中某两个点的简单曲线一定与$C$有交点，这就是 Jordan 定理。

简单闭曲线的方向通过内部与外部规定：沿着曲线按某个方向行走，如果曲线的内部一直在左侧，我们就称这个方向为正方向。

区域

如果一个平面内的开集$E$中任意两点之间都可用一条全在$E$上的点组成的曲线相连接，那么就称$E$为一个区域，这是复变函数中的又一重要概念，它是实变函数中区间的推广，是拓扑空间中道路连通性的体现。

一个区域连同所有的界点称为一个闭域，常用$\overline{E} := E \cap \partial E$表示。

上下节

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参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.