復冪級數

在複函數項級數中，有一類特殊的級數，它是若干多項式的和，有形式 $$\sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n$$ （必要時我們規定$(z - z_0)^0 = 1$），我們稱這樣的級數為復冪級數，它是一元實函數中冪級數的推廣。

方便起見，我們僅討論$z_0 = 0$的情形，因為冪級數總可以做變量代換$z' = z - z_0$化為我們所討論的形式。

Abel 定理

設冪級數$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$z = z_1 \ne 0$處收斂，那它必定在更小的圓周$|z| < |z_1|$上絕對收斂且內閉一致收斂；

若冪級數$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$z = z_1 \ne 0$處發散，那它必定在更大的圓周$|z| > |z_1|$上發散。

Cauchy-Hadamard 定理

對於一個冪級數$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$，設 $$R = \begin{cases} \dfrac{1}{\displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|}}, & 0 < \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} < \infty, \\ 0, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} = \infty, \\ \infty, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} = 0. \end{cases}$$ 那麼，冪級數$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$|z| < R$的區域內閉一致收斂且絕對收斂，在$|z| > R$的區間內發散，在$|z| = R$的周線上斂散性需進一步判斷。

上述事實很容易使用數列的 Cauchy 判別法證明。

收斂半徑

我們稱上述的$R$為該冪級數的收斂半徑，使冪級數收斂的區域稱為收斂域，因為冪級數在周線$|z| = R$上可能收斂或發散，因此收斂域不一定是圓盤$|z| < R$。

收斂半徑除了使用 Cauchy 判別法之外，還可以使用 d'Alembert 判別法，它是說對於一個冪級數$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{c_n}{c_{n+1}} \right|$存在，那麼收斂半徑$R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{c_n}{c_{n+1}} \right|$，這個判別法對於缺項的冪級數（有某些$c_n = 0$）不能直接應用。

冪級數的性質

冪級數在收斂區間上是內閉一致收斂的，因此在其上一致收斂的性質：和的連續性、逐項積分以及逐項微分都可以進行。這些被用來求冪級數的和。此外，逐項微分的結論更強：

設冪級數$\sum_{n=0}^\infty c_n (z - a)^n$的收斂半徑為$R$，那麼：

1. 它所定義的和函數$f(z)$在$|z-z_0| < R$內解析；
2. 它的任意階導數都存在且在$|z-z_0| < R$內解析，有$$f^{(m)} (z) = \sum_{n=0}^\infty A_{m+n}^m c_{m+n} (z-z_0)^n.$$其中，$$c_k = \dfrac{f^{(k)} (z_0)}{k!}.$$

上下節

• 上一節：複函數項級數
• 下一節：解析函數的泰勒展式

參考資料

1. 鍾玉泉, 《複變函數論（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.