复幂级数

在复函数项级数中，有一类特殊的级数，它是若干多项式的和，有形式 $$\sum_{n=0}^\infty c_n (z - z_0)^n$$ （必要时我们规定$(z - z_0)^0 = 1$），我们称这样的级数为复幂级数，它是一元实函数中幂级数的推广。

方便起见，我们仅讨论$z_0 = 0$的情形，因为幂级数总可以做变量代换$z' = z - z_0$化为我们所讨论的形式。

Abel 定理

设幂级数$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$z = z_1 \ne 0$处收敛，那它必定在更小的圆周$|z| < |z_1|$上绝对收敛且内闭一致收敛；

若幂级数$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$z = z_1 \ne 0$处发散，那它必定在更大的圆周$|z| > |z_1|$上发散。

Cauchy-Hadamard 定理

对于一个幂级数$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$，设 $$R = \begin{cases} \dfrac{1}{\displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|}}, & 0 < \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} < \infty, \\ 0, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} = \infty, \\ \infty, & \displaystyle{\limsup_{n \to \infty}} \sqrt[n]{|c_n|} = 0. \end{cases}$$ 那么，幂级数$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$在$|z| < R$的区域内闭一致收敛且绝对收敛，在$|z| > R$的区间内发散，在$|z| = R$的周线上敛散性需进一步判断。

上述事实很容易使用数列的 Cauchy 判别法证明。

收敛半径

我们称上述的$R$为该幂级数的收敛半径，使幂级数收敛的区域称为收敛域，因为幂级数在周线$|z| = R$上可能收敛或发散，因此收敛域不一定是圆盘$|z| < R$。

收敛半径除了使用 Cauchy 判别法之外，还可以使用 d'Alembert 判别法，它是说对于一个幂级数$\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$，如果$\lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{c_n}{c_{n+1}} \right|$存在，那么收敛半径$R = \lim_{n \to \infty} \left| \dfrac{c_n}{c_{n+1}} \right|$，这个判别法对于缺项的幂级数（有某些$c_n = 0$）不能直接应用。

幂级数的性质

幂级数在收敛区间上是内闭一致收敛的，因此在其上一致收敛的性质：和的连续性、逐项积分以及逐项微分都可以进行。这些被用来求幂级数的和。此外，逐项微分的结论更强：

设幂级数$\sum_{n=0}^\infty c_n (z - a)^n$的收敛半径为$R$，那么：

1. 它所定义的和函数$f(z)$在$|z-z_0| < R$内解析；
2. 它的任意阶导数都存在且在$|z-z_0| < R$内解析，有$$f^{(m)} (z) = \sum_{n=0}^\infty A_{m+n}^m c_{m+n} (z-z_0)^n.$$其中，$$c_k = \dfrac{f^{(k)} (z_0)}{k!}.$$

上下节

• 上一节：复函数项级数
• 下一节：解析函数的泰勒展式

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.