复幂

在实分析中我们有幂函数以及指数函数的概念，我们也将其定义延拓到复变函数中去，延拓的基准是定义后的一般幂函数以及一般指数函数当自变量取实值时和实数中的函数一致。

复幂

我们先把幂的概念推广到复数域中，设有一确定的复数$z \in \C$。

1. 正整数幂：设$n \in \mathbb{N}^+$，$z^n$就代表$n$个复数$z$相乘，详见复正整数幂；
2. 零幂：$z^0 = 1$，不定义$0^0$；
3. 负整数幂：$\forall z \in \C - \{ 0 \}$，$z$的逆元$z^{-1}$总是存在且唯一，因此$\forall n \in \N^+$，$z^{-n} = (z^{-1})^n$，我们约定零不做分母，因此零不定义负整数幂；
4. 方根：设$n \in \mathbb{N}^+$，$z^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{z}$，详见复根式函数，它是$n$多值的；
5. 有理数幂：设$a \in \Q, \exists p,q \in \N, q > 0, (p,q) = 1, a = \dfrac{p}{q}$，则$z^a = z^{\frac{p}{q}} := \sqrt[q]{z^p} = (\sqrt[q]{z})^p$，易知它是$q$多值的。

以上我们就定义了一个复数的有理次幂，最后一条兼容前面的定义，再拓展下去当幂指数是无理数以及虚数时，若按上述定义并不那么简单，我们结合已经定义了的复指数以及实数中的换底公式，我们有如下定义：

设$w \in \C$，那么$z^w = \text{e}^{w \operatorname{Ln} z} = \text{e}^{w \ln z + 2wk\pi\text{i}}, k \in \Z.$可以这样定义的原因是，这样形成的运算性质以及值的数量都和之前定义的有理数幂是兼容的，以上定义也叫做复幂（复指数）的换底公式，切记一旦声明幂指数或底数是复数（尤其是虚数），实数中的换底公式$z^w \ne \text{e}^{w \ln z}$，而应将$\ln$改为$\operatorname{Ln}$。

当$w$取到无理数或虚数时，$z^w$一般是无穷多值的。对于$a^z$，当$\operatorname{Ln} a$取主值$\ln a$时，$\text{e}^{z \ln a}$称为$a^z$的幂主值。

例如计算$\text{i}^\text{i}$：
$\begin{align} \text{i}^\text{i} & = \text{e}^{\text{i} \operatorname{Ln} \text{i}} \\ & = \text{e}^{\text{i} (\ln|\text{i}| + \text{i} \arg \text{i} + 2k\pi\text{i})} \\ & = \text{e}^{\text{i} (\frac{\pi\text{i}}{2} + 2k\pi\text{i})} \\ & = \text{e}^{-\frac{\pi}{2}-2k\pi}, k \in \Z. \end{align}$
且$\text{i}^\text{i}$的主值为$\text{e}^{-\frac{\pi}{2}}.$

计算$(1+\text{i})^{1+\text{i}}$：
$\begin{align} (1+\text{i})^{1+\text{i}} & = \text{e}^{(1+\text{i}) \operatorname{Ln}(1+\text{i})} \\ & = \text{e}^{(1+\text{i}) [\ln\sqrt{2} + \text{i} \arg (1+\text{i}) + 2k\pi\text{i}]} \\ & = \text{e}^{(1+\text{i}) (\ln\sqrt{2} + \frac{\pi\text{i}}{4} + 2k\pi\text{i})} \\ & = \text{e}^{\ln\sqrt{2} - \frac{\pi}{4} - 2k\pi + \text{i}(\frac{\pi}{4} + 2k\pi + \ln\sqrt{2})} \\ & = \text{e}^{\frac{\ln 2}{2} - \frac{\pi}{4} - 2k\pi} \left( \cos ( \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2} ) + \text{i} \sin ( \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2} ) \right) , k \in \Z. \end{align}$
且$(1+\text{i})^{1+\text{i}}$的主值为$\text{e}^{\frac{\ln 2}{2} - \frac{\pi}{4}} \left( \cos ( \frac{\pi}{4} + \frac{\ln 2}{2}) + \text{i} \sin ( \frac{\pi}{4} + \dfrac{\ln 2}{2}) \right).$

一般幂函数以及一般指数函数

设给定一复数$a$，关于复数变量$z$的复变函数$w = z^a$，就称为一般幂函数；而函数$w = a^z$就称为一般指数函数。

它们都可经过换底公式$a^z = \text{e}^{z \operatorname{Ln} a}$转化为复对数函数以及复指数函数的复合函数，所以在定义域上都是解析的（不一定是单值的）。

上下节

• 上一节：复根式函数
• 下一节：复反三角函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.