复对数函数

在复变函数中，复对数函数是作为复指数函数存在的，它们互为反函数，复对数函数是一个无穷多值的函数。

概念

我们用复指数的逆来定义复对数：称满足方程$\text{e}^w = z$的$w$为复数$z$的对数，记作$\operatorname{Ln} z = w$。

可以验证 $$\operatorname{Ln} z = \ln|z| + \text{i} \operatorname{Arg} z = \ln |z| + \text{i} (\arg z + 2k\pi), k \in \Z.$$ 其中$\ln |z|$是正实数$|z|$的自然对数，我们不定义$0$的复对数。因此复对数函数是一个$\C - \{0\}$无穷多值函数，不同的值之间仅相差$2k\pi\text{i}$。

当$k$取确定值时，我们记相应的复对数值为$(\ln z)_k$，特别当$\arg z$取主值（$(-\pi, \pi]$）时我们记作$\ln z$，称其为$z$的复对数主值。

这样定义的对数和正实数的自然对数的性质$\operatorname{Ln} (z_1 z_2) = \operatorname{Ln} z_1 + \operatorname{Ln} z_2$是兼容的，且导数$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} (\ln z)_k = \dfrac{1}{z}.$

在复对数范畴上，实数的复对数不再唯一，例如$\operatorname{Ln} 1 = \ln |1| + \text{i} (\arg 1 + 2k\pi) = 2k\pi\text{i}.$负数也存在复对数（只是不是实数而已），例如$\operatorname{Ln} (-1) = \ln|-1| + \text{i} (\arg (-1) + 2k\pi) = (2k+1)\pi\text{i}.$

几何形态

我们通过研究复指数系函数的方法来对复对数函数有一个直观了解，我们先看复对数主值的情形：我们先保持虚部不变，改变实部得到如下图形

再保持实部不变改变虚部，得到

实际上，复对数主值把原来的直角坐标平面（除去原点以及无穷远点）变成了一个带形域$(-\pi, \pi]$：

由于其自变量的辐角决定了因变量的虚部，且同一自变量不同的复对数值之间只相差$2k\pi\text{i}$，这表现在$w$平面上就是将主值向上下平移$|2k\pi|$个单位，因此主值表示的带形域就可以向上下平移密铺为整个平面了，注意这时我们包含了$\operatorname{Ln} (-x),x\in \R^+$的因变量曲线$z=(2k+1)\pi\text{i}$的情形。

将带形域延拓到整个平面后，绿色以及蓝色这两族曲线是正交的，实际上可以验证它们也是等价的，其中一族经过适当平移可以得到另一族，且平移的竖直方向位移是$\dfrac{(2k+1)\pi}{2}$。

割破平面

由于复对数函数是典型的由辐角函数造成的无穷多值函数，因此我们可以仿照辐角函数的研究方法将复平面按照复对数函数的某些点割开，得到若干个单值解析分支，实际上了解了复对数的几何形态后这一过程会更容易理解。我们知道复对数函数有且仅有支点$z = 0, \infty$，连接这两点的任意一条闭曲线都可以作为支割线，简便起见我们取负实轴为支割线，记割破后的平面为$G$，这样复对数函数就将原来的平面$G$变为了若干个带形区域$B_k = \{ z: (2k-1) < \operatorname{Im} z < (2k+1)\pi, k \in \Z \}$，这样就分出了很多单值解析分支，且主值支为$k=0$的带形区域。

上下节

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• 下一节：复根式函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.