复变函数的连续性

我们也像一元实函数那样对复变函数引入连续性的概念，其中有很多是和一元实连续函数相似的。

定义

点连续

设定义在点集$E$上的复变函数$w = f(z)$，$z_0 \in E$是$E$的一个聚点，如果$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当$0 < |z - z_0| < \delta, z \in E$时，有$|f(z) - f(z_0)| < \varepsilon$，我们就称在$E$上$f(z)$连续于$z_0$，用极限的语言来写就是

$$\lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} f(z) = f(z_0).$$

复变函数连续于某个点时也有局部有界的性质，且如果定义在$E$上的函数$f, g$连续于$z_0$，那么它们做有限次四则运算以及复合（除法时要求分母不为零）后依然连续于$z_0$。

点集连续

如果定义在$E$上的函数$f$在点集$E$中的每一点都是连续的，就称这个函数连续于$E$，或者说$f$是$E$上的连续函数。

区域上的连续函数不一定是有界的，这一点在一元实函数中不真，在复变函数中也是如此。但是闭域上的连续函数有更强的性质，它是有界的，且最值定理（这时考虑的函数是$|f(z)|$）依然存在。其它很多性质都可以推广到复变函数中。例如如果定义在$E$上的函数$f, g$连续于$E$，那么它们做有限次四则运算以及复合（除法时要求分母不为零）后依然连续于$E$。

区域上的连续复变函数有一个重要的性质：它能把这个区域上的连续曲线映成连续曲线。

与二元函数的关系

由于复变函数的极限中可以建立和二元实函数之间的关系，因此一个复变函数的连续性可以由实部与虚部两个实函数的连续性给出。

设定义在$E$上的函数$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$连续于$z_0 = x_0 + \text{i} y_0$，那么$u(x, y)$和$v(x, y)$都别连续到$(x_0, y_0)$。

同样可将其推广到区域连续中去。

一致连续

类似于一元实函数一致连续的概念，我们也可以引入复变函数的一致连续。

定义在点集$E$上的复变函数$w = f(z)$，$z_1, z_2 \in E$是$E$的两个聚点，如果$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，当$|z_1 - z_2| < \delta$时，有$|f(z_1) - f(z_2)| < \varepsilon$，我们就称在$E$上$f(z)$连续一致连续。

类似于一元实函数上的 Cantor 连续性定理，我们有：闭域上的连续函数一定是一致连续的。

上下节

• 上一节：复变函数的极限
• 下一节：复变函数的导数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.