复变函数的积分

在复变函数论中，复变函数的积分又称为复积分，是复变函数论的基础之一，它类似于多元积分中的第二型曲线积分。

概念

设在复平面内有一个可度量的有向曲线（不必连续）$C: z(t), t \in [a, b]$，在其上定义了一个复变函数$f(z), \forall z \in C.$对$C$插入若干分点$z(t_i), i = 0,1,2,\cdots,n$，其中$t_i$满足 $$a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_{n-1} < t_n = b$$ 这样曲线就被分成了$n$个小弧段$\overset{\frown}{z_{i-1}z_i}$，该弧段上的复数改变量记作$\Delta z_i = z_i - z_{i-1}$，记号$||\Delta|| = \max_{1 \leqslant i \leqslant n} |\Delta z_i|$称为分割的模，在每个小弧段上取一个代表复数$z_i \in \overset{\frown}{z_{i-1}z_i}, i = 1,2,\cdots$，作下述积分和式 $$\sum_{i=1}^n f(z_i) \Delta z_i.$$ 如果上述和式在$||\Delta|| \to 0$时对任意的分割方法和任意的$z_i \in [z_{i-1}, z_i]$都有唯一的有限值，我们就说函数$f(z)$在$C$上可积，积分和式的极限叫作$f(z)$在$C$上的积分，记作 $$\int_\mathit{C} f(z) \mathrm{d}z = \lim_{||\Delta|| \to 0} \sum_{i=1}^n f(z_i) \Delta z_i.$$ $C$称为积分路径。

性质

这样定义的复变函数的积分有下述性质：

1. 积分对积分路径的方向性：$$\int_C f(z) \mathrm{d}z = -\int_{C^-} f(z) \mathrm{d}z.$$
2. 积分对被积函数的线性性：$$\int_C [af(z)+bg(z)] \mathrm{d}z = a\int_C f(z) \mathrm{d}z + b\int_C g(z) \mathrm{d}z, \quad a, b \in \C.$$
3. 积分对积分路径的可加性（进而可以推出有限可加性）：$$\int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_{C_1} f(z) \mathrm{d}z + \int_{C_2} f(z) \mathrm{d}z, \quad C = C_1 + C_2.$$
4. 复积分的控制不等式：$$\left| \int_C f(z) \mathrm{d}z \right| \leqslant \int_C |f(z)| \mathrm{d}s \leqslant ML.$$其中，$M = \sup_{z \in C} |f(z)|$，$L$是曲线$C$的弧长。$\mathrm{d}s = |\mathrm{d}z|$是弧微分，中间的式子是一个第一型曲线积分。

与第二型曲线积分的联系

如果$f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y), z = x + \text{i}y, x, y \in \R$沿$C$连续且$f(z)$可积，那么有公式 $$\int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_C u\mathrm{d}x - v\mathrm{d}y + \text{i} \int_C v \mathrm{d}x + u \mathrm{d}y.$$

进一步，如果$C: z = z(t), t \in [a, b]$是光滑的有向曲线，那么还有 $$\int_C f(z) \mathrm{d}z = \int_a^b f(z(t)) z'(t) \mathrm{d}t.$$ 上式右端是一个可以取到复数的 Riemann 积分。

环路积分

如果$C$是一个简单闭曲线，它或者连续，或者逐段连续，那么可以定义环路积分 $$\oint_C f(z) \mathrm{d}z$$ 积分路径的起点和终点相同，可以选择$C$上任意一点，它的方向规定为闭曲线的方向，即当沿着曲线行进时，曲线内部始终在观察者的左侧。

一个重要的环路积分是 $$\oint_C \dfrac{\mathrm{d}z}{(z - z_0)^{n+1}} = \begin{cases} 2\pi\text{i}, & n = 0, \\ 0, & n \in \Z - \{0\}. \end{cases}$$ 其中，$C$是以$z_0$为圆心，任意正数长度为半径的圆周。这一积分在后续的很多场合中有重要的应用。

上下节

• 上一节：多值函数
• 下一节：Cauchy 积分定理

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.