复变函数的极限

复变函数的极限理论是研究复变函数解析性以及积分理论的基础（一种观点），因此我们需要定义复变函数的极限，这里的定义许多类似于实函数的定义。

复数列的极限

像（实）数列那样，如果一个数列的各项都是复数，我们就称这样的数列是复数列，复数列有像实数列那样相似的性质：
设一复数列$\{ z_n \}, z_n \in \C, n \in \N, a \in \C$，若$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \N^+$，使得当 $n > N$时有$|z_n - a| < \varepsilon$，称复数列$\{ z_n \}$收敛于$a$，$a$是这个数列的极限点（也叫做聚点），记作$\lim _{n \to \infty} z_n = a$或$z_n \to a~(n \to \infty)$。若复数列$\{ z_n \}$的极限存在，则这个极限是唯一的。

复数列$\{ z_n \}$的极限是$a$，就是在$\{ z_n \}$的第$N$项之后的所有项都落在$a$的一个邻域$N_\varepsilon (a)$中。如果复数列没有极限，我们说它是发散的，用数学语言表示就是$\exists \varepsilon_0 > 0, \forall N \in \N^+$，使得当$n > N$ 时有$|z_n - a | > \varepsilon_0.$

由于复数域没有序关系，不能引入实数完备性的等价定理，但弱化条件相应定理可以推广到复变函数上去，例如Cauchy 收敛准则
复数列$\{ z_n \}$收敛$\iff \forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb {N}^{+}, \forall m,n > N ,$有$|z_m - z_n| < \varepsilon.$ 聚点定理、有限覆盖定理、区间套定理都可以推广，请读者自己操作。

复变函数的极限

设定义在点集$E$上的复变函数$w = f(z)$，$z_0$是$E$的一个聚点，如果$\exists w_0 \in \C$，当$\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0$，使得当$0 < |z - z_0| < \delta, z \in E$时总有 $$|f(z) - w_0| < \varepsilon$$ 成立，我们就称定义在$E$上的函数$f$在$z_0$点有极限$w_0$，记作 $$\lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} f(z) = w_0.$$

复变函数的极限依然有有界性这一性质：在$E$上的函数$f$在$z_0$点有极限，那么$f$在$z_0$点的某个去心邻域内有界。

在复变函数上，我们依然有归结原则（Heine 定理），这也就是说函数取极限的逼近的过程就是对应数列形成极限的过程：
定义在点集$E$上的复变函数$w = f(z)$，$z_0$的去心邻域上$f(z)$在$z_0$点的极限存在当且仅当对任何在$E \cap N(z_0)$内以$z_0$为极限的复数列$\{ z_n \}$，$\lim _{n \to \infty} f(z_n)$存在且相等。

我们在实函数中定义过单侧极限：左极限与右极限，这相当于是从实数轴的两个方向向聚点（极限点）逼近，在一维的直线上也就只有这两种简单情形，而在一张平面上情况要复杂些：一个普通点集$E$的极限点，可以有多个不同的路径（从不同的方向上）去逼近到这个点上，因此复变函数的极限比实函数的极限条件更强。

Heine 定理的逆定理常用来说明某个复变函数的极限不存在，我们只要找到两条路径上（即在$E \cap N(z_0)$内找到两个以$z_0$为极限的复数列）对应的极限值不相等即可。

极限的运算

像实函数的极限那样，复变函数的极限也能进行四则运算。对于$\lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} f(z) = A, \lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} g(z) = B$，函数极限也有以下四则运算法则：

1. $\lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} ( f(z) \pm g(z) ) = A \pm B.$
2. $\lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} f(z) \cdot g(z) = AB.$
3. 若对于任意$z \in N (z_0) - \{ z_0 \}, g(z) \ne 0$ 且 $B \ne 0$，则 $\lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} \dfrac{f(z)} {g(z)} = \dfrac{A}{B}.$

与二元函数极限的关系

$E$上的复变函数$w = f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$，$z_0 = x_0 + \text{i} y_0$是$E$的一个聚点，那么有 $\lim_{\overset{z \to z_0}{z \in E}} f(z) = w_0 = a + \text{i} b \iff \lim_{\overset{(x,y) \to (x_0,y_0)}{(x,y) \in E}} u(x, y) = a~\And~\lim_{\overset{(x,y) \to (x_0,y_0)}{(x,y) \in E}} v(x, y) = b.$

上下节

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参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.