复变函数的导数

复变函数的微分理论是仿照一元实函数的微分理论建立起来的，并进而引入更强性质的函数——解析函数的概念。

定义

设定义在区域$E$上的复变函数$w = f(z)$在点集$E$的一个聚点$z_0$的邻域内有定义，且比值 $$\dfrac{\Delta f(z)}{\Delta z} = \dfrac{f(z_0 + \Delta z) - f(z_0)}{\Delta z} = \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} \quad (\Delta z \ne 0)$$ 当$z$以任意方式趋近于$z_0$（即$\Delta z$按照任意方式趋近于$0$）时，上述比值的极限存在且唯一，我们就说函数$f$在点$z_0$可导，将上述比值称为$f$在$z_0$处的导数，记作 $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} f(z_0) = f'(z_0) := \lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0}.$$

一元实函数在定义域中的某点可导当且仅当它的左导数以及右导数存在，在复变函数中，由于定义域位于一张平面上，在$z_0$点可导必须要求在定义域中能够趋近于$z_0$的所有路径的导数值都存在且相等。

微分

微分的定义也可以推广到复变函数中去： 设定义在区域$E$上的复变函数$w = f(z)$在点$z_0$可导，即有$f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \dfrac{\Delta w}{\Delta z}$，那么有 $$\mathrm{d} f(z) = f'(z) \Delta z + \varepsilon.$$ 称$f'(z_0) \Delta z$为$f$在$z_0$处的微分，也称函数$f$在$z_0$点可微。

复变函数在某一点的可导性与可微性是等价的。

求导法则

在一元实变量函数中成立的四则运算的求导法则、复合函数的求导法则，都可以类似推广到复变函数上。

• $(f \pm g)' (z) = f'(z) \pm g'(z);$
• $(fg)' (z) = f'(z) g(z) + f(z) g'(z);$
• 如果$g(z) \ne 0$，那么$\left( \dfrac{f(z)}{g(z)} \right)' = \dfrac{f'(z)g(z) - f(z)g'(z)}{g^2 (z)};$
• 对于复合函数有链式求导原则：设有复变函数$f(g(z))$
  $f(g(z)) = f'(g(z)) \cdot g'(z)$，亦即$\dfrac{\text{d}y}{\text{d}z} = \dfrac{\text{d}y}{\text{d}u} \cdot \dfrac{\text{d}u}{\text{d}z}$
  其中$y$是关于$u$的函数，$u$是关于$z$的函数。

不可微函数

在复变函数中可以举出很多常见的处处连续但处处不可微的例子，例如$f(z) = |z|, f(z) = \operatorname{Im} z$等等，它们的路径导数（即沿着特定曲线的导数）一般情况下是存在的，可以证明下列函数沿着对应路径都有导数： $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline & l : x = s & l : y = t & C : |z| = R & l : \arg z = \theta \\ \hline \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \operatorname{Re} z & 0 & 1 & -\dfrac{\text{i}x}{z} & \dfrac{|z|}{z} \cos \theta \\ \hline \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \operatorname{Im} z & -\text{i} & 0 & \dfrac{\text{i}y}{z} & \dfrac{|z|}{z} \sin \theta \\ \hline \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} |z| & \dfrac{\text{i}ry}{z^2} & \cos \theta & 0 & \dfrac{|z|}{z} \\ \hline \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z} \arg z & \dfrac{\text{i}x}{z^2} & -\dfrac{\sin \theta}{r} & \dfrac{1}{\text{i}z} & 0 \\ \hline \end{array}$$ 上表中第一纵列是复变函数，第一横行为复变函数的定义曲线，分别表示与虚轴平行的直线、与实轴平行的直线、以原点为心的圆周、由原点出发的射线。

共轭分解

我们知道一个复数可以用两个自由变量控制——复数的实部和虚部，如果我们用一个复数的本身以及它的共轭控制（描述）复变函数的自变量，我们可以对复变函数做一个另一方面的理解，即$f(z) = u(x, y) + \text{i} v(x, y) = g(x, y) = g(\dfrac{z + \overline{z}}{2}, \dfrac{z - \overline{z}}{2\text{i}})$。

我们做如下形式定义 $$\dfrac{\partial}{\partial z} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial}{\partial x} - \text{i} \dfrac{\partial}{\partial y} \right), \qquad \dfrac{\partial}{\partial \overline{z}} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial}{\partial x} + \text{i} \dfrac{\partial}{\partial y} \right).$$ 可以验证有 $$f(z + \Delta z) - f(z) = \dfrac{\partial f (z)}{\partial z} \Delta z + \dfrac{\partial f (z)}{\partial \overline{z}} \overline{\Delta z} + o(|\Delta z|).$$ 因此我们写作 $$\mathrm{d} f(z) = \dfrac{\partial f}{\partial z} \mathrm{d} z + \dfrac{\partial f}{\partial \overline{z}} \mathrm{d} \overline{z}.$$

上下节

• 上一节：复变函数的连续性
• 下一节：解析函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.