复变函数的不定积分

在复变函数论中，我们可以仿照数学分析那样定义一个复变函数的不定积分，它为之后 Cauchy 积分公式提供基础。

概念[]

设复变函数 $f(z)$ 定义在闭域 $D$ 上，如果存在 $D$ 上的解析函数 $F(z)$ ，使得 $F'(z) = f(z)$ ，我们就说 $f(z)$ 在 $D$ 上可以做不定积分， $F(z)$ 是 $f(z)$ 的一个原函数。

条件中要求的 $F(z)$ 在 $D$ 上解析是为了保证积分和路径无关，设 $f(z)$ 是 $D$ 上的连续函数，那么下列三款等价：

$f(z)$ 在 $D$ 上有原函数 $F(z)$ ；
$f(z)$ 沿着从 $z_1$ 到 $z_{2}$ 且含于 $D$ 的任何路径积分相同，且 $\int_{z_1}^{z_2} f(z) \mathrm{d}z = F(z_1) - F(z_2);$
$f(z)$ 沿着 $D$ 内的任意分段光滑曲线的积分为零。

上述第二条是分析学中的牛顿-莱布尼兹公式。

若 $f(z)$ 在 $D$ 上有原函数，那么首先可以写出其中一个原函数是 $F(z) = \int_{z_0}^z f(\zeta) \mathrm{d}\zeta$ 这也是 $f(z)$ 的一个变上限积分，其中 $z_0 \in D.$

可以证明，不同的原函数之间至多相差一个常数，即若 $F(z), G(z)$ 都是 $f(z)$ 在 $D$ 中的原函数，那么 $F(z) - G(z) \equiv C, \qquad C \in \C.$

单复变函数论（学科代码：1104120，GB/T 13745—2009）
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