复变函数

复变函数是自变量和因变量取复数值的函数，设非空数集$E \subseteq \C$，$f$建立了一个数集$E$到数集$F\subseteq\C$的映射，那么就称这个映射是一个复变函数（即复数作为变量的函数）。

相关概念

假设同上，若$\forall z \in E$，$\exists ! w \in F$，使得$f(z) = w$，就称这个函数$f$是一个单值函数，如果有不止一个$w$与$z$对应，就称这个函数$f$是多值函数，由于复变函数的某些特性，我们允许一个自变量对应多个函数值的情形存在，并将其称为多值函数，这是研究后续某些问题的需要，也是和数学分析中实变量函数不同的一点。

我们也将数集$E$称为$f$的定义域，$f(E) := \{w : w = f(z), z \in E \}$称为$f$的值域。

例如，$w = \operatorname{Re} z, w = \operatorname{Im} z, w = |z|, w = z^2 + 1$都是单值函数，而辐角函数$w = \operatorname{Arg} z$则是典型的多值函数。

我们说一个复变函数$f(z)$有界，一般是指模有界，即$\exists M > 0, |f(z)| < M.$

表示

在直角形式中，复变函数一般这样表示

$$w = u(x, y) + \text{i} v(x, y)$$

其中$u(x, y)$和$v(x, y)$分别是关于实数$z$的实部和虚部的二元函数，这也就将复变函数和我们熟知的实变函数（二元函数）联系了起来。

对于指数形式，$z = r \text{e}^{\text{i}\theta}$，也有 $w = \varphi(r, \theta) + \text{i} \psi(r, \theta)$

几何意义

一个复数直观上用一张平面上的点来表示，如果它的像也用另外一张平面上的点来表示，这样一个复变函数的图像实际上就是四维空间上的图像了，为了避开这一麻烦，我们仅选用两个不相干的平面（有时候也会将他们重合来着重突出函数的变换性质）来表示一个复变函数的定义域和值域，这样函数就是一个把定义域平面（称为$z$平面）到值域平面（称为$w$平面）的变换，在这个意义下，复变函数可以看做把一条曲线（称作自变量曲线）变成另一条曲线（称作因变量曲线）的一个变换。

例如下图，复变函数$w = z^2$，将曲线$z = \cosh t + \text{i} \sinh t$映成了曲线$\operatorname{Re} w = 1$。

反函数

设$w = f(z)$的定义域是$E$，值域是$F$，显然在定义域中至少有一个元素与$w \in F$对应，我们称$f$的逆映射就是$f$的反函数，记作$z = f^{-1} (w)$，显然有$w = f(f^{-1} (w))$，如果$f^{-1}$也是单值函数，那么就称$f$是一一变换。例如，$w = z^2$的反函数是$z = \pm \sqrt{w}$，这是一个多值函数。

在复变函数论中，我们不区分映射、变换以及函数。

上下节

• 上一节：复平面
• 下一节：复变函数的极限

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.