复反三角函数

在复变函数中，复反三角函数是复三角函数的反函数，包括反正（余）弦、反正（余）切以及反正（余）割，它们都是多值函数。

定义

一种常规的方法是由方程来定义，例如，给定一复数$z$，我们把满足关于$w$的复数方程$\sin w = z$的所有$w$的全体称作$z$的复反正弦，记作$\operatorname{Arcsin} z = \{ w \in \C | \sin w = z, z \in \C \}$。运用三角函数的指数定义表示，可以反解出$w$，其他函数同理，因此得到

$\begin{align} \operatorname{Arcsin} z & = - \text{i} \operatorname{Ln} (\text{i} z + \sqrt{1-z^2}), \\ \operatorname{Arccos} z & = - \text{i} \operatorname{Ln} (z + \text{i} \sqrt{1-z^2}), \\ \operatorname{Arctan} z & = \dfrac{1}{2\text{i}} \operatorname{Ln} \dfrac{1+\text{i}z}{1-\text{i}z}. \end{align}$

它们都是无穷多值的，适当割开复平面后可以分出单值解析分支。

几何形态

反正弦函数刻画时可以将$w$平面划分为诸多带形区域$B_k = \{z : \operatorname{Re} z \in ((2k-1)\pi,(2k+1)\pi), k \in \Z \}$，这是复对数函数的无穷多值性引起的，在每个带形区域上都有两个函数值（包括重数），这是复根式函数的二值性引起的，如图。

反正切函数刻画时可以将$w$平面划分为诸多带形区域$B_k = \{z : \operatorname{Re} z \in (-\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\dfrac{\pi}{2}+k\pi), k \in \Z \}$，在每个区域上都是单值解析的，这是复对数函数的无穷多值性引起的。

复反双曲函数

定义和复反三角函数一样，都是由对数定义得到的，且都是无穷多值的函数，适当割开复平面后为解析函数。

$\begin{align} \operatorname{Arsinh} z & = \operatorname{Ln} (z + \sqrt{z^2+1}), \\ \operatorname{Arcosh} z & = \operatorname{Ln} (z + \sqrt{z^2-1}), \\ \operatorname{Artanh} z & = \dfrac{1}{2} \operatorname{Ln} \dfrac{1+z}{1-z}. \end{align}$

这类函数的几何形态都是由对应的复反三角函数的自变量和因变量分别沿相反方向旋转90度形成的，因为根据定义，它们只是在自变量和因变量上相差一个虚数单位因子。

上下节

• 上一节：一般幂函数
• 下一节：多值函数

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.