复化求积公式

在数值积分中，使用高次插值求积方法可能造成数值不稳定或计算量过大等弊端，因此采用逐段低次插值方法进行一步一步细化以达到某个精度。常见的事反复应用梯形公式和 Simpson 公式。

以下均假设处理的定积分是$I = \int_a^b f(x) \mathrm{d}x$，初始分割节点$a \leqslant x_0 < x_1 < x_2 < \cdots < x_n \leqslant b$，必要时假设节点等距排列，步长为$h = \dfrac{b-a}{n}, x_k = a + kh, k = 0, 1, \cdots, n.$

复化梯形公式

在每个$\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$上用梯形公式：

$$\begin{align} \int_{x_{k-1}}^{x_{k}} f(x) \mathrm{d}x &\approx \dfrac{x_{k}-x_{k-1}}{2} \left[ f(x_{k-1}) + f(x_k) \right], k = 1, 2, \cdots, n \\ \int_a^b f(x) \mathrm{d}x &\approx \sum_{k=1}^n \dfrac{h}{2} \left[ f(x_{k-1}) + f(x_k) \right] \\ & = \dfrac{h}{2} \left[ f(a) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(x_k) + f(b) \right] =: T_n \\ \end{align}$$

误差

$$\begin{align} R[f] & = \sum_{k=1}^n \left[ - \dfrac{h^3}{12} f''(\xi_k) \right] = - \dfrac{h^2}{12n} (b-a) \sum_{k=1}^n f''(\xi_k) \\ & = - \frac{h^2}{12} (b-a) f''(\xi), \quad \xi \in (a, b). \end{align}$$

复化 Simpson 公式

复化 Simpson 公式：

$$\begin{align} \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x) \mathrm{d}x & \approx \frac{h}{6}\left[f\left(x_{k}\right)+4 f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right] \\ \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d}x & \approx \frac{h}{6}\left[f(a)+4 \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)+2 \sum_{k=0}^{n-1} f\left(x_{k+1}\right)+f(b)\right]=:S_{n} \\ R[f]&=-\frac{b-a}{180}\left(\frac{h}{2}\right)^{4} f^{(4)}(\xi), \quad \xi \in (a, b). \end{align}$$

自适应复化求积法

以复化 Simpson 公式为例，若我们假设$S_n$是采用将区间$[a, b]$做$n$等分之后产生的近似结果，注意到

$$I-S_{n}=-\frac{b-a}{180}\left(\frac{h}{2}\right)^{4} f^{(4)}(\xi) \approx-\frac{b-a}{2880} h^{4}\left(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\right)$$

对每个小区间进行二等分，可得

$$\begin{align} I-S_{2n} & \approx-\frac{b-a}{2880}\left(\frac{h}{2}\right)^{4}\left(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\right) \\ &=-\frac{1}{16} \frac{b-a}{2880} h^{4}\left(f^{(3)}(b)-f^{(3)}(a)\right) \approx \frac{1}{16}\left(I-S_{n}\right) \end{align}$$

进而有

$$\frac{I-S_{2 n}}{I-S_{n}} \approx \frac{1}{16} \Longrightarrow I-S_{2 n} \approx \frac{1}{15}\left(S_{2 n}-S_{n}\right)$$

上述条件可用来检验精度是否符合要求。 但如果计算完$S_n$后，重新计算$S_{2n}$则计算代价很大，以下方法可以在计算$S_{2n}$时利用$S_n$的结果，进而降低计算量。

已知

$$S_{n}=\frac{h}{6} \sum_{k=0}^{n-1}\left[f\left(x_{k}\right)+4 f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right]$$

对每个小区间进行二等分，则原来的子区间$\left[x_{k}, x_{k+1}\right]$变为两个小子区间$\left[x_{k}, x_{k+\frac{1}{2}}\right]$和$\left[x_{k+\frac{1}{2}}, x_{k+1}\right]$, 从而$\left[x_{k}, x_{k+1}\right]$上的积分值为

$$\frac{h}{12}\left[f\left(x_{k}\right)+4 f\left(x_{k+\frac{1}{4}}\right)+f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)\right]+\frac{h}{12}\left[f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)+4 f\left(x_{k+\frac{3}{4}}\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right]$$

从而有

$$\begin{align} S_{2n} &=\frac{h}{12} \sum_{k=0}^{n-1}\left[f\left(x_{k}\right)+4 f\left(x_{k+\frac{1}{4}}\right)+2 f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)+4 f\left(x_{k+\frac{3}{4}}\right)+f\left(x_{k+1}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2} S_{n}+\frac{h}{6} \sum_{k=0}^{n-1}\left[2 f\left(x_{k+\frac{1}{4}}\right)-f\left(x_{k+\frac{1}{2}}\right)+2 f\left(x_{k+\frac{3}{4}}\right)\right] \end{align}$$

参考资料

1. 黄云清, 《数值计算方法》, 科学出版社, 北京, 2012-06, ISBN 978-7-0302-3428-5.