复函数项级数

在复变函数中，函数项级数是一元实函数项级数的推广，是复变函数级数理论的基础概念。

复函数项级数

设有复变函数列$\{ f_n(z) \}_{n=1}^\infty$，且所有函数的定义域的交集非空：$D = \bigcap_{n=1}^\infty D(u_n) \ne \varnothing$，我们就称如下的和为一个复函数项级数，它的定义域是$D$。 $$\sum_{n=1}^\infty f_n(z) := f_1(z) + f_2(z) + \cdots.$$ 并称 $S_n = \sum_{k=1}^n u_k(x) = u_1(x) + u_2(x) + \cdots + f_n(z)$ 是这个复函数项级数的$n$次部分和。

容易知道，当选定一个固定的值$x = x_0$，复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$就变成了一个复数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z_0).$

收敛性

复函数项级数也可以定义数项级数那样的收敛性，它的定义是：$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$收敛当且仅当对于任意的$z \in X$，复数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z_0)$都收敛，这种收敛也被称为逐点收敛或点态收敛，对于一个复函数项级数的逐点收敛问题，可以将它转化为对应复数项级数的收敛问题。如果能得到在区间$X$上固定$z$的所有数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z_0)$收敛到$f(z)$，我们就称$f(z)$为函数项级数在$X$上的和函数，$X \subseteq D$称为这个函数项级数的收敛域，并有如下记号 $$\sum_{n=1}^\infty f_n(z) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f_k(z) = f(z), \quad \forall z \in X.$$

仅凭收敛这一个条件，就算函数项级数中每个函数都是连续的，也不能推出和函数的连续性，这时需要引入一致收敛的概念。

一致收敛

设复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$，若对任意的$\varepsilon > 0$以及$z \in X$，存在仅和$\varepsilon$有关的常数$N(\varepsilon) \in \N^+$，使得当$n > N$时恒有 $|\sum_{k=1}^n f_k(z) - f(z)| < \varepsilon$ 成立，我们就说函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$X$上一致收敛于$f(z)$，此外，这个定义还有如下等价表述： $$\lim_{n \to \infty} \sup_{z \in X} |\sum_{k=1}^n f_k(z) - f(z)| = 0$$ 这和一元实函数项级数的一致收敛定义是一致的。

对于一致收敛，也有 Cauchy 收敛准则：复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$X$上一致收敛的 Cauchy 充要条件是说：对任意的$\varepsilon > 0$，存在正整数$N(\varepsilon) \in \N^+$，当$n > N$时都有 $$\left| \sum_{k=n+1}^{n+p} f_k (z) \right| < \varepsilon \quad \forall p \in \N^+, \forall z \in X.$$

内闭一致收敛

定义在区域$X$上的复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$，如果它在$X$的任意有界闭集上一致收敛，我们就称该级数在$X$上内闭一致收敛，注意，由内闭一致收敛不能推出$X$上一致收敛，反之可以。内闭一致收敛可以推出区域$X$上的收敛性。

优级数准则

即Weierstrass 判别法，也称 M 判别法，如果复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$满足对充分大的$n$，存在收敛的正项级数$\sum_{n=1}^\infty M_n$收敛，使得$|f_n (z)| \leqslant M_n, \forall z \in X$，那么可得在$X$上复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$一致收敛。通俗地说，就是这个函数项级数可以被一个收敛的正项级数所控制。

一致收敛的性质

和一元实函数项级数是平行的，只是求导的性质会更好一些。

和的连续性

复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$X$上一致收敛，且每一项$f_n(z)$在$X$上连续，那么这个级数的和函数$f(z) = \sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$X$上连续，即求和可以和求极限交换次序。

进一步，若复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在区域$X$上内闭一致收敛于$f(z)$，且每一项$f_n(z)$在$X$上解析，那么这个级数的和函数$f(z) = \sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在$X$上解析。

逐项求积

复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$在曲线$C$上一致收敛，且每一项$f_n(z)$在$C$上连续，那么求和可以和求积分交换次序： $$\sum_{n=1}^\infty \int_C f_n(z) \mathrm{d}z = \int_C f(z) \mathrm{d}z.$$

逐项求导

复函数项级数$\sum_{n=1}^\infty u_n (x)$在区域$X$上内闭一致收敛于$f(z)$，且每一项$f_n(z)$在$X$上解析，那么该级数在$X$上无穷可微，且 $$\dfrac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}z^m} f(z) = \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}z^m} f_n(z), \forall z \in X, m \in \N^+.$$

由此立得，级数$\sum_{n=1}^\infty \dfrac{\mathrm{d}^m}{\mathrm{d}z^m} f_n(z)$在$X$上内闭一致收敛。

上下节

• 上一节：复数项级数
• 下一节：Montel 定理

参考资料

1. 钟玉泉, 《复变函数论（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2021-03, ISBN 978-7-0405-5587-5.