基本初等函数

在函数的研究中，有一类函数是基本初等函数，这些函数是研究连续性以及可微性的典型对象。

分类

基本初等函数一共有以下六类：

常数函数 $f(x) = c, c \in \mathbb{R}$

常数函数定义域为 $\R$，值域为 $\{ c \}$。

常数函数是单调函数，非严格单调函数，是周期函数但没有最小正周期（任何正数都是它的正周期），此外，常数函数的导数为 $0$，积分除零常函数外都是一次函数。

特殊的常函数 $f(x) = 0$，它有无穷多个根，其对应的多项式次数一般规定为负无穷大，任何阶导数和积分和原函数都相等。

常数函数 $f(x) = c, c \in \mathbb{R}$

情形	$c > 0$	$c = 0$	$c < 0$
定义域	$\R$
值域	$c$
单调性	单调但不严格单调
周期性	是周期函数
极值	极大（小）值 $c$
最值	最大（小）值 $c$
零点	无	任意一点	无
凸性	不严格的凸函数以及凹函数

幂函数 $f(x) = x^\alpha, \alpha \in \mathbb{R}, x > 0$

幂函数是单射函数，不是周期函数。幂函数在定义区间内都是单调的，有定点 $(1,1)$，$\alpha=0$ 是为正常函数；$\alpha < 0$ 是区间内的减函数；$\alpha>0$ 是区间上的增函数。

$\alpha \in (0, 1)$ 是区间内的凹函数；$\alpha > 1$ 或 $\alpha < 0$ 是区间上的凸函数。

幂函数 $f(x) = x^\alpha, \alpha \in \mathbb{R}, x > 0$

情形	$\alpha < 0$	$\alpha=0$	$0 < \alpha < 1$	$\alpha = 1$	$\alpha > 1$
定义域	$\mathbb{R^{+}}$
值域	$\mathbb{R^{+}}$	$\{1\}$	$\mathbb{R^{+}}$
单调性	严格单调递减	单调但不严格单调	严格单调递增
周期性	无
极值	无	$1$	无
最值	无	$1$	无
零点	无
凸性	严格凸函数	不严格凸	严格凹函数	不严格凸	严格凸函数

指数函数 $f(x) = a^x, a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$

指数函数是单射函数，凸函数，不是周期函数。指数函数在定义区间内都是单调的，有定点 $(0, 1)$，$\alpha \in (0, 1)$ 是区间内的减函数；$\alpha > 1$ 是区间上的增函数。

指数函数 $f(x) = a^x, a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$

情形	$a \in (0, 1)$	$a>1$
定义域	$\R$
值域	$\mathbb{R^{+}}$
单调性	严格单减	严格单增
周期性	无
极值	无
最值	无
零点	无
凸性	严格凸函数

对数函数 $f(x) = \log _a x, a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$

对数函数是单射函数，不是周期函数。对数函数在定义区间内都是单调的，有定点 $(1,0)$，$a \in (0, 1)$ 是区间内的减函数、凸函数；$a>1$ 是区间上的增函数、凹函数。

对数函数 $f(x) = \log _a x, a \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$

情形	$a \in (0, 1)$	$a>1$
定义域	$\mathbb{R^{+}}$
值域	$\R$
单调性	严格单减	严格单增
周期性	无
极值	无
最值	无
零点	$x=1$
凸性	严格凸函数	严格凹函数

三角函数

三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数等。都是周期函数，有最小正周期。

三角函数（$k \in \Z$）

类型	正弦函数 $f(x) = \sin x$	余弦函数 $f(x) = \cos x$	正切函数 $f(x) = \tan x$	余切函数 $f(x) = \cot x$	正割函数 $f(x) = \sec x$	余割函数 $f(x) = \csc x$
图像
定义域	$\R$		$\{ x | x \ne \dfrac{\pi}{2} = k \pi \}$	$\{ x | x \ne k \pi \}$	$\{ x | x \ne \dfrac{\pi}{2} = k \pi \}$	$\{ x | x \ne k \pi \}$
值域	$[-1, 1]$		$\R$		$( -\infty, -1] \cup[1, +\infty)$
单调增区间	$[2k\pi - \dfrac{\pi}{2}, 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}]$	$[2k\pi - \pi, 2k\pi]$	$[k\pi - \dfrac{\pi}{2}, k\pi + \dfrac{\pi}{2}]$	无	$[2k\pi, 2k\pi + \dfrac{\pi}{2}]$ $[2k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 2k\pi + \pi]$	$[2k\pi - \pi, 2k\pi - \dfrac{\pi}{2}]$ $[2k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 2k\pi + \pi]$
单调减区间	$[2k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 2k\pi + \dfrac{3\pi}{2}]$	$[2k\pi, 2k\pi + \pi]$	无	$[k\pi, k\pi + \pi]$	$[2k\pi - \pi, 2k\pi - \dfrac{\pi}{2}]$ $[2k\pi - \dfrac{\pi}{2}, 2k\pi]$	$[2k\pi - \pi, 2k\pi - \dfrac{\pi}{2}]$ $[2k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 2k\pi + \pi]$
正周期	$2 k \pi$		$k\pi$		$2 k \pi$
极大值坐标	$(2k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 1)$	$(2k\pi, 1)$	无	无	$(\pi + 2k\pi, -1)$	$(2k\pi - \dfrac{\pi}{2}, -1)$
极小值坐标	$(2k\pi - \dfrac{\pi}{2}, -1)$	$(2k\pi + \pi, -1)$	无	无	$(2k\pi, 1)$	$(2k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 1)$
零点	$k\pi$	$k\pi + \dfrac{\pi}{2}$	$k\pi$	$k\pi + \dfrac{\pi}{2}$	无	无
对称中心	$(k\pi, 0)$	$(k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 0)$	$(\dfrac{k\pi}{2}, 0)$	$(\dfrac{k\pi}{2}, 0)$	$(k\pi + \dfrac{\pi}{2}, 0)$	$(k\pi, 0)$
对称轴	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$	$x = k\pi$	无	无	$x = k\pi$	$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

反三角函数

三角函数有反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数、反余割函数等。都不是周期函数。

基本初等函数连续性

基本初等函数都是连续函数，以下给出六种连续性的证明。

定义：若一个函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上连续，当且仅当对于任意的 $x_0\in D$，都有 $\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0).$

常函数的连续性

任取 $x_0 \in Df(x)$，当 $| x - x_0 | < \delta$ 时，$f(x) - f(x_0) = c - c = 0 < \varepsilon$
所以 $\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，进而函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上连续。

幂函数的连续性

任取 $x_0 \in Df(x)$，
$\begin{align} | f(x) - f(x_0) | & = \left| x^\alpha - x_0^\alpha \right| \\ & = \left| x_0^\alpha \cdot \left[ \left( \dfrac{x}{x_0} \right)^\alpha - 1 \right] \right| \\ & = \left| x_0^\alpha \cdot \alpha \left( \dfrac{x}{x_0} - 1 \right) \right| \\ & = | \alpha x_0^{\alpha-1} (x - x_0) | \end{align}$
只需取 $\delta = \dfrac{\varepsilon}{|\alpha x_0^{\alpha-1}|}$ 即可说明当 $| x - x_0 | < \delta$ 时，$| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon$，进而 $\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，进而函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上连续。

指数函数连续性

任取 $x_0 \in Df(x)$，这里以 $a>1$ 为例，$0 < a < 1$ 的情形类似。
$\begin{align} | f(x) - f(x_0) | < \varepsilon & \iff - \varepsilon < a^x - a^{x_0} < \varepsilon \\ & \iff a^{x_0} - \varepsilon < a^x < a^{x_0} + \varepsilon \\ & \iff 1 - a^{-x_0} \varepsilon < a^{x-x_0} < 1 + a^{-x_0} \varepsilon \\ & \iff \log _a ( 1 - a^{-x_0} \varepsilon ) < x - x_0 < \log _a ( 1 + a^{-x_0} \varepsilon ) \end{align}$
考虑到 $\log _a ( 1 - a^{-x_0} \varepsilon ) < 0, \log _a ( 1 + a^{-x_0} \varepsilon ) > 0$，故只需取 $\delta = \min \{ - \log _a ( 1 - a^{-x_0} \varepsilon ), \log _a ( 1 + a^{-x_0} \varepsilon ) \}$ 即可说明当 $| x - x_0 | < \delta$ 时，$| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon$，进而 $\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，进而函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上连续。

对数函数连续性

任取 $x_0 \in Df(x)$，这里以 $a>1$ 为例，$0 < a < 1$ 的情形类似。
$\begin{align} | f(x) - f(x_0) | < \varepsilon & \iff - \varepsilon < \log _a x - \log _a x_0 < \varepsilon \\ & \iff \log _a x_0 - \varepsilon < \log _a x < \log _a x_0 + \varepsilon \\ & \iff x_0 a^{-\varepsilon} < x < x_0 a^\varepsilon \\ & \iff x_0 ( a^{-\varepsilon} - 1 ) < x - x_0 < x_0 ( a^{\varepsilon} - 1 ) \end{align}$
考虑到 $a^{-\varepsilon} - 1 < 0, a^{\varepsilon} - 1 > 0$，故只需取 $\delta = \min \{ x_0 ( 1 - a^{-\varepsilon} ), x_0 ( a^{\varepsilon} - 1 ) \}$ 即可说明当 $| x - x_0 | < \delta$ 时，$| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon$，进而 $\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，进而函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上连续。

当然也可利用反函数的连续性定理由指数函数的连续性说明对数函数的连续性。

三角函数以及反三角函数连续性

对于正弦函数 $f(x) = \sin x$：任取 $x_0 \in Df(x)$，当 $| x - x_0 | < \delta$ 时，
$\begin{align} | f(x) - f(x_0) | & = \left| \sin x - \sin x_0 \right| \\ & = 2 \left| \sin \dfrac{x - x_0}{2} \right| \left| \cos \dfrac{x + x_0}{2} \right| \\ & \leqslant 2 \left| \sin \dfrac{x - x_0}{2} \right| \cdot 1 \\ & \leqslant \left| x - x_0 \right| \end{align}$
只需取 $\delta = \varepsilon$ 即可说明当 $| x - x_0 | < \delta$ 时，$| f(x) - f(x_0) | < \varepsilon$，进而 $\lim _{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$，进而函数 $f(x)$ 在区间 $D$ 上连续。证明过程中使用了和差化积公式，对于余弦函数也可类似证明。

由于连续函数有限次四则运算后得到的函数仍是定义域中的连续函数，所以正切函数 $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$，余切函数 $\cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$，正割函数 $\sec x = \dfrac{1}{\cos x}$，余割函数 $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$ 都是定义域内的连续函数。

对于反三角函数，由反函数的连续性立得反三角函数在定义区间内也是连续函数。

初等函数

初等函数是由基本初等函数通过有限次四则以及复合运算得到，因此，多项式函数、绝对值函数都是初等函数。

初等函数在其定义域内部都是连续函数。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
2. 华东师范大学数学科学学院, 《数学分析（上）（第五版）》, 高等教育出版社, 北京, 2019-05, ISBN 978-7-0405-0694-5.