基本不等式

基本不等式是一个十分简单的代数不等式。

内容

假设$a, b$是两个正数，那么我们有

$$2ab\leqslant a^{2}+b^{2}.$$

当且仅当$a = b$的时候取等号，这仅需要注意到$a^{2}+b^{2}-2ab=(a-b)^{2}\geqslant 0$即可。

这个结果对一般的复数表述为：

假设$a, b$是两个复数，那么我们有

$$2{\text{Re}}({\overline {a}}b)\leqslant |a|^{2}+|b|^{2}.$$

其中$\overline{b}$是$b$的共轭，${\text{Re }}z$表示取复数$z$的实部。当且仅当$a = b$的时候取等号

关于这个定理/命题的证明，单击这里以显示/折叠

首先我们知道对任意复数$a, b$都有

$$|a-b|^{2}=|a|^{2}+|b|^{2}-{\overline {a}}b-a{\overline {b}}\geqslant 0.$$

而我们又知道

$${\overline {a}}b+a{\overline {b}}={\overline {a}}b+{\overline {{\overline {a}}b}}=2{\text{Re}}({\overline {a}}b).$$

这样就得到了结论。

稍微改写一下，我们就得到

$$a+b\geqslant 2{\sqrt {ab}},\quad \forall a,b\geqslant 0,$$

也即算术平均大于几何平均。在这个式子中令$b=a^{-1}\neq 0$，我们就得到$a+{\dfrac {1}{a}}\geqslant 2$，当且仅当$a = 1$的时候取到等号，这一性质常用来证明很多其他的二元不等式，可见1的代换。