基数

基数（cardinal number）是衡量一个集合元素“多少”的量，相关概念也可参看集合的势。

基数

有限集的基数就是该集合中元素的个数，自然数集的基数是第一级无穷大（阿列夫零$\aleph_0$），实数集的基数是连续统$C$，它和自然数集的幂集等势。

如果一个无限集$A$的基数是$\alpha$，$B$是有限集，那么$A \cup B$的基数也是$\alpha.$

自然数集是可列集，任何一个无限集都包含一个可列子集，因此自然数集的基数是最小的无限集的基数。

一个集合$S$的基数可以记作$|S|, \text{card}(S)$等等。

无最大基数定理

我们称两个无限集$A, B$的基数$\alpha, \beta$之间有大小关系：$\alpha \leqslant \beta$是指，$A$与$B$的一个子集等势，若此时还有$A, B$不等势，即$\alpha \ne \beta$，我们记$\alpha < \beta$。

在所有的无限集中，没有一个最大的无限集的基数，这是因为设无限集$A$的基数为$\alpha$，那么$A$的幂集$2^A$的基数总比$A$大，而一个集合的幂集总是存在的，所以没有最大的幂集，自然没有最大的基数。

基数的运算

1. 设有两个不交的集合$A, B$，它们的基数分别为$\alpha, \beta$，那么称$A \cup B$的基数为$\alpha + \beta.$
2. 设有两个集合$A, B$，它们的基数分别为$\alpha, \beta$，那么称笛卡尔积$A \times B$的基数为$\alpha \cdot \beta = \alpha\beta.$如果$\alpha = \beta$，那么笛卡尔积集的基数还可简写为$\alpha^2.$
3. 设有两个集合$A, B$，它们的基数分别为$\alpha, \beta$，那么由$A$到$B$的所有映射组成的集合$B^A$的基数记作$\beta^\alpha.$特别地$A$的幂集$2^A$的基数为$2^\alpha.$

显然有$\aleph_0 + \aleph_0 = \aleph_0, \aleph_0^2 = \aleph_0, 2^{\aleph_0} = C.$