域

域是為群和環的衍生結構，其上有兩種運算，一般分別稱之為「加法」與「乘法」，一個域上的所有元素皆可對彼此做加減乘，非零元素可做除法。

定義

交換的除環稱爲域。寫成公理化形式，就是：

若一集合$S$對其上的兩個二元運算——加法與乘法成一域，則其加法$+$和乘法$\cdot$符合以下條件：

1. $S$對加法的運算構成一交換群，其中加法單位元又稱零元，一般可將零元記作$0$。即
   1. $\forall x, y, z \in S, (x+y) + z = x + (y+z).$
   2. $\forall x \in S, \exists 0 \in S, 0 + x = x + 0 = x.$
   3. $\forall x \in S, \exists y \in S, x + y = y + x = 0.$
   4. $\forall x, y \in S, x + y = y + x.$
2. 由$S$的零元以外的所有的$S$的元素組成的集合$S^*$對乘法的運算構成一交換群，一般可將乘法單位元記作$1$或$e$，即
   1. $\forall x, y, z \in S^*, (xy)z = x(yz).$
   2. $\forall x \in S^*, \exists 1 \in S, 1x = x1 = x.$
   3. $\forall x \in S^*, \exists y \in S, xy = yx = 1.$
   4. $\forall x, y \in S^*, xy = yx.$
3. $S$關於加法和乘法構成環，即
   1. 左分配律：$\forall x, y, z \in S, x(y+z) = xy + xz.$（環公理）；
   2. 右分配律：$\forall x, y, z \in S, (x+y)z = xz + yz.$（環公理）。

有理數集合、實數集合、複數集合、模某質數$p$的包含$0$的完全剩餘系皆為域的範例。

域同態

兩個域$F_1, F_2$之間的同態實際上是他們作爲交換除環之間的環同態，域同態保持乘法逆元的性質。

子域和擴域

假設域$F$作爲集合時有子集$F_1$，子集$F_1$上也規定了一種加法和乘法使之構成一域，且存在一個域同態$f: F_1 \to F.$我們就説$F_1$是$F$的子域，此時我們也稱$F$是$F_1$的一個擴域，記作$F_1 \leqslant F.$

如果域$F_1$既是域$F$的子域，也是域$F_2$的擴域，我們就稱$F_1$是$F_2$和$F$的中間域。給定兩個域$F_2, F$，且$F_2 \leqslant F$，我們研究他們的中間域的多少問題，就會引入域的擴張的概念。

參見

• 群
• 環
• 除環
• 向量空間
• 模
• 多項式