垂心

垂心是三角形三条高的交点，但值得在解题过程中注意的是，垂心可能不在三角形内.

唯一性

由 Ceva 定理易证，但为了导出它的向量性质，这里采用向量法证明.

已知：$\triangle{A B C}$中，$AH\perp BC,BH\perp AC$.

求证：$CH \perp AB$.

证明：由题意得${\overrightarrow {HA}}\cdot ({\overrightarrow {HB}}-{\overrightarrow {HC}})=0$ 所以${\overrightarrow {HA}}\cdot {\overrightarrow {HB}}={\overrightarrow {HA}}\cdot {\overrightarrow {HC}}$ 同理，${\overrightarrow {HB}}\cdot {\overrightarrow {HA}}={\overrightarrow {HB}}\cdot {\overrightarrow {HC}}$ 即${\overrightarrow {HC}}\cdot {\overrightarrow {HA}}={\overrightarrow {HC}}\cdot {\overrightarrow {HB}}$ 因此${\overrightarrow {HC}}\cdot ({\overrightarrow {HA}}-{\overrightarrow {HB}})=0$，即$CH \perp AB$. Q.E.D.

性质

1. 由上述的推导，直接得出：${\overrightarrow {AH}}\cdot {\overrightarrow {BH}}={\overrightarrow {AH}}\cdot {\overrightarrow {CH}}={\overrightarrow {BH}}\cdot {\overrightarrow {CH}}$；
2. 延长垂心与三个顶点的连线，分别交$AB, BC, CA$于$D,E,F$，则$\tan {A}\cdot {\overrightarrow {HD}}+\tan {B}\cdot {\overrightarrow {HE}}+\tan {C}\cdot {\overrightarrow {HE}}={\overrightarrow {0}}$；
3. 三角形的垂心恰好是三个垂足所构成三角形的内心；