均匀分布

在概率论中，均匀分布（uniform distribution）是最简单的连续型随机变量所服从的概率分布。它可以推广到有限维随机向量上去，即得到几何概型的概率分布。

模型

设$a > b$为有限数，如果一个连续型随机变量$X$的概率密度函数是如下形式 $$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b, \\ 0 , & \text{otherwise}. \end{cases}$$ 我们就称随机变量$X$服从均匀分布，记作$X \sim U[a, b].$上述函数中的区间$[a, b]$可以改为任何有限区间，即该区间的测度（长度）为有限值$l$，在该区间内随机变量的密度函数值为$\dfrac{1}{l}.$

均匀分布的概率分布函数是 $$F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \mathrm{d}t = \begin{cases} 0 , & x \leqslant a, \\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a < x \leqslant b, \\ 1 , & x > b. \end{cases}$$ 这个模型是几何概型一维直线情形下的严格定义。

数字特征

$X \sim U[a,b]$的数学期望和方差分别为$E(X) = \dfrac{a+b}{2}, D(X) = \dfrac{(a-b)^2}{12}.$这是因为 $$\begin{align} E(X) & = \int_a^b \dfrac{x}{b-a} \mathrm{d}x = \dfrac{a+b}{2}. \\ D(X) & = \int_a^b \dfrac{1}{b-a} \cdot \left( x - \dfrac{a+b}{2} \right)^2 \mathrm{d}x \\ & = \dfrac{1}{3(b-a)} \left. \left( x - \dfrac{a+b}{2} \right)^3 \right|_a^b = \dfrac{(a-b)^2}{12}. \end{align}$$ 它的特征函数是$\dfrac{\text{e}^{b\text{i}t}-\text{e}^{a\text{i}t}}{\text{i}t(b-a)}.$

有限维情形

可以将上述分布模型推广到有限维情形，设集合$S \in \R^d$是 Lebesgue 可测的，有一随机向量$\boldsymbol{X} = (X_1, X_2, \cdots, X_d)$，且它的联合概率密度函数是 $$f(\boldsymbol{x}) = \begin{cases} \dfrac{1}{m(S)}, & \boldsymbol{x} \in S, \\ 0 , & \boldsymbol{x} \notin S. \end{cases}$$ 其中，有限数$m(S)$是$S$的测度（二维下为其面积，三维下为其体积），我们就说随机向量$\boldsymbol{X}$服从$d$维均匀分布。这是几何概型的有限维情形下的严格定义。

应用

均匀分布在统计中常用来检验某随机变量是否服从某种特定分布，设有服从分布函数$F(x)$的随机变量$X$，那么$F(x)$存在严格递增的反函数$F^{-1} (x)$，若$Y = F(X)$，则$Y$的分布函数 $$F_Y (y) = P \{ F(X) < y \} = \begin{cases} 0, & y \leqslant 0, \\ P \{ X < F^{-1} (y) \} = F(F^{-1} (y)) = y, & y \in (0, 1), \\ 1, & y \geqslant 1, \end{cases}$$ 显然，$Y \sim U[0, 1]$。

如果将上述过程倒过来，就可以用均匀分布的随机变量生成服从某种特定分布的随机变量，设由严格单调递增定义在$\R$上的函数$F(x)$，满足$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$，显然它可以作为某个随机变量的分布函数，$F(x)$存在严格递增的反函数$F^{-1} (x)$，设有服从均匀分布的随机变量$Y \sim U[0, 1]$，若$Y = F(X)$，则$X$的分布函数 $$F_X (x) = P \{ F^{-1} (Y) < x \} = P \{ Y < F(x) \} = F(x).$$ 这说明，经过函数作用的新随机数$X = F^{-1} (Y)$服从分布函数为$F(X)$的概率分布。

统计特性

指数分布族

参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(0, \theta)$的支集依赖于参数$\theta$，因此不是指数分布族。

充分完备统计量

1. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(0, \theta)$是完备的，且它的一个充分完备统计量是$T = \max_{1 \leqslant k \leqslant n} X_k = X_{(n)}.$
2. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta \in \R \}$上的均匀分布族$U(\theta-0.5, \theta+0.5)$的一个充分统计量是$(X_{(1)}, X_{(n)})$，但它不是完备的。
3. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(-\theta/2, \theta/2)$的一个充分统计量是$(X_{(1)}, X_{(n)})$，但它不是完备的。
4. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(\theta, 2\theta)$的一个充分统计量是$(X_{(1)}, X_{(n)})$，但它不是完备的。

点估计

1. 参数空间$\varTheta = \{(\theta_1, \theta_2): \theta_1, \theta_2 \in \R, \theta_1 < \theta_2 \}$上的均匀分布族$U(\theta_1, \theta_2)$的矩估计是$\hat{\theta}_1 = \overline{X} - \sqrt{3}S_n, \hat{\theta}_2 = \overline{X} + \sqrt{3}S_n$，其中$S_n$是样本标准差。
2. 参数空间$\varTheta = \{(\theta_1, \theta_2): \theta_1, \theta_2 \in \R, \theta_1 < \theta_2 \}$上的均匀分布族$U(\theta_1, \theta_2)$的极大似然估计是$\hat{\theta}_1 = X_{(1)}, \hat{\theta}_2 = X_{(n)}$，它们不是无偏的，修正后的无偏估计是$\hat{\theta}_1^* = \dfrac{nX_{(1)} - X_{(n)}}{n-1}, \hat{\theta}_2^* = \dfrac{nX_{(n)} - X_{(1)}}{n-1}.$
3. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(0, \theta)$的极大似然估计是$\hat{\theta} = X_{(n)}$，它不是无偏的，但是弱相合的，修正后的无偏估计是$\dfrac{n+1}{n} X_{(n)}$，同时它也是一致最小方差无偏估计。而参数的函数$\dfrac{1}{\theta}$没有无偏估计。
4. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(-\theta/2, \theta/2)$关于参数$\theta$的无偏估计有$\dfrac{X_{(1)}+X_{(n)}}{2}, \overline{X}$，前者更有效。

区间估计

1. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(0, \theta)$，关于参数$\theta$的置信水平为$1-\alpha \in (0, 1)$的置信区间是$[X_{(n)}, X_{(n)}/\sqrt[n]{\alpha}].$
2. 参数空间$\varTheta = \{(\theta_1, \theta_2): \theta_1, \theta_2 \in \R, \theta_1 < \theta_2 \}$上的均匀分布族$U(\theta_1, \theta_2)$
   1. 变程$\theta_2 - \theta_1$的置信水平为$1-\alpha$的近似置信区间是$$\left[ \dfrac{X_{(n)} - X_{(1)}}{\text{Be}_{n-1,2}(\alpha/2)}, \dfrac{X_{(n)} - X_{(1)}}{\text{Be}_{n-1,2}(1-\alpha/2)} \right]$$（枢轴量为$1 - \dfrac{X_{(n)} - X_{(1)}}{\theta_2-\theta_1} \sim \text{Be}(n-1,2)$β 分布）；
   2. 中点$\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}$的置信水平为$1-\alpha$的近似置信区间是$$\left[ \dfrac{X_{(n)} + X_{(1)}}{2} - (\alpha^{-\frac{1}{n-1}} - 1) \dfrac{X_{(n)} - X_{(1)}}{2}, \dfrac{X_{(n)} + X_{(1)}}{2} + (\alpha^{-\frac{1}{n-1}} - 1) \dfrac{X_{(n)} - X_{(1)}}{2} \right].$$（枢轴量为$\dfrac{X_{(n)} + X_{(1)} - (\theta_1+\theta_2)}{X_{(n)} - X_{(1)}}$，其密度函数是$f(x) = \dfrac{n-1}{2(1+|x|)^n}$）。
3. 参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta \in \R \}$上的均匀分布族$U(\theta-0.5, \theta+0.5)$，关于参数$\theta$置信水平为$1-\alpha$的置信区间是$$\left[ \dfrac{X_{(n)} + X_{(1)}}{2} - \dfrac{1-\alpha^{1/n}}{2}, \dfrac{X_{(n)} + X_{(1)}}{2} + \dfrac{1-\alpha^{1/n}}{2} \right].$$其中枢轴量为$\dfrac{X_{(n)} + X_{(1)}}{2} - \theta$，它的密度函数是$f(x) = n(1-|2x|)^{n-1} I_{[-0.5,0.5]}.$
4. 假设$X_1, X_2, \cdots, X_m \sim U(0, \theta_1), Y_1, Y_2, \cdots, Y_n \sim U(0, \theta_2)$且相互独立，其中$\theta_1, \theta_2$是参数，那么$\theta_1/\theta_2$置信水平为$1-\alpha$的近似置信区间是$$\left[ \dfrac{X_{(m)}}{Y_{(n)}} \left( \dfrac{m+n}{m} \dfrac{\alpha}{2} \right)^\frac{1}{n}, \dfrac{X_{(m)}}{Y_{(n)}} \left( \dfrac{m+n}{n} \dfrac{\alpha}{2} \right)^{-\frac{1}{m}} \right].$$枢轴量是$\dfrac{Y_{(n)}}{X_{(m)}}\dfrac{\theta_1}{\theta_2}$的密度函数是$f(x) = \begin{cases} \dfrac{mn}{m+n} x^{-m-1}, & x \geqslant 1, \\ \dfrac{mn}{m+n} x^{n-1}, & x < 1. \end{cases}$

参数假设检验

参数空间$\varTheta = \{\theta: \theta > 0 \}$上的均匀分布族$U(0, \theta)$，给定$\theta_0 > 0$，那么检验水平为$\alpha$的如下检验问题 $$H_0: \theta \leqslant \theta_0 \longleftrightarrow H_1: \theta > \theta_0$$ 的似然比检验和一致最优检验的拒绝域都是 $$W = \{ X_{(n)} > \theta_0 \sqrt[n]{1-\alpha} \}.$$

上下节

• 上一节：指数分布
• 下一节：正态分布

参考资料

1. 李贤平, 《概率论基础（第3版）》, 高等教育出版社, 北京, 2010-04, ISBN 978-7-0402-8890-2.