均值不等式

均值不等式是数学中很重要的初等不等式，它被认为是众多不等式的基石。

算术平均值-几何平均值不等式

设 $\{ a_n \} \subset [0, +\infty)$，则有下式成立

$$\dfrac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n}.$$

当且仅当 $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n$ 时取等号。

这个不等式的证明方法很多，到现在为止至少已有50多种证明方法，而且针对这个不等式的证明仍有新的证明方法提出。

特例

由这个不等式可以导出基本不等式，$n=2$ 时

$$a+b \geqslant 2\sqrt{ab}, \quad \forall a \geqslant 0, b \geqslant 0$$

当且仅当 $a = b$ 时取等号。

几何平均值-调和平均值不等式

设 $\{ a_n \} \subset [0, +\infty)$，则有下式成立

$$\sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n} \geqslant \dfrac{n}{\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} + \dots + \frac{1}{a_n}}.$$

当且仅当 $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n$ 时取等号。

平方平均值-算术平均值不等式

设 $\{ a_n \} \subset [0, +\infty)$，则有下式成立

$$\sqrt{\dfrac{a^2_1 + a^2_2 + a^2_3 + \cdots + a^2_n}{n}} \geqslant \dfrac{a_1 + a_2 + a_3 + \dots + a_n}{n}.$$

当且仅当 $a_1 = a_2 = a_3 = \cdots = a_n$ 时取等号。

综合

综合以上三个不等式，可以得到均值不等式的完整版本：设 $\{ a_n \} \subset [0, +\infty)$
调和平均值 $H_n = \dfrac{n}{\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{a_k}} = \dfrac{n}{\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\cdots+\dfrac{1}{a_n}}$

几何平均值 $G_n = \left( \prod_{k=1}^n a_k \right)^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}$

算术平均值 $A_n = \dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k = \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}$

平方平均值 $Q_n = \sqrt{\dfrac{1}{n} \displaystyle \sum_{k=1}^{n} a_k^2} = \sqrt{\dfrac{a^2_1 + a^2_2 + \cdots + a^2_n}{n}}$

则 $H_n \leqslant G_n \leqslant A_n \leqslant Q_n$。 当且仅当 $a_1 = a_2 = \cdots = a_n$ 时取等号。

这些是幂平均在 $-1, 0, 1, 2$ 时的特殊情况。