圆

圆（circle）是一个常见的平面几何体，它是对称性十分高的平面图形，也是性质最优良的圆锥曲线，标准方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

定义

第一定义

在平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆，该定点称为圆心，定长称为半径，定长的二倍称为直径.

第二定义

在平面内到两个定点的距离之比等于不为一的常数的动点的轨迹是圆，这被称为 Apollonius 圆.

方程

在直角坐标平面内，圆的方程为$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，$r$是半径，$(a,b)$是圆心。

由单位圆的参数化，我们可以得知圆的参数方程为

$${\begin{cases}x=a+r\cos {\theta }\\y=b+r\sin {\theta },\end{cases}}\quad \theta \in [0,2\pi ).$$

在极坐标平面内，圆的标准方程为

$$\rho _{0}^{2}-2\rho \rho _{0}\cos {\theta -\theta _{0}}+\rho ^{2}=r^{2}.$$

其中半径是$r > 0$，圆心是$(\rho _{0},\theta _{0})$。

包含元素

圆周角与圆心角

取圆上任意两点，这两点与圆心连线的夹角称作圆心角，与圆上另外的第三点连线的夹角称为圆周角.

弧与弦

取圆上任意两点，联结这两点得到的线段称作弦，记作$AB$；这两点将圆分成两部分，称之为弧，记作$\overset{\frown}{A B}$，它所对的圆心角（或圆周角）就是这两点参照如上的定义所成的角. 若圆弧所对的圆周角小于平角，则称之为劣弧，反之称之为优弧. 对于等圆或同圆内任意相等的圆弧（或弦），总有圆周角定理：同（等）弧（弦）所对圆周角相等，且等于其所对圆心角的一半. 证明的方法是联结半径构造等腰三角形，由外角的性质证明，具体过程略.

除此之外，一条圆弧与其两个端点和圆心联结而成的线段可以组成一个封闭图形，称为扇形；一条圆弧与其所对应的弦也组成封闭图形，称之为弓形.

圆周率

圆周率是数学中非常重要的常数之一，它是一个圆的周长与直径的比值，记作$\pi$，约等于$3.14$. $\pi$不仅是无理数，更是一个超越数，因此“化圆为方”问题无解.

性质

唯一性

平面内任意不共线的三点确定唯一的一个圆.

对称性

圆关于圆心中心对称，也关于直径所在直线轴对称，故圆有无穷多条对称轴.

周长与面积

对于一个半径为$r$的圆，其周长为$2 \pi r$，面积为$\pi r^2$. 虽然在小学、中学的课堂中老师基本都会采用无限分割的办法（即将圆等分为许多扇形，然后将它们近似组成一个长方形，内含有微分的思想），但这种方法不严谨，依旧需要微积分的知识进行证明：

不妨设圆的方程为$x^2 + y^2 = r^2$，由于对称性只需求在x轴上方的部分，即$y = \sqrt{r^2-x^2}$，于是面积

$${\begin{alignedat}{1}S&=2\int _{0}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\operatorname {d} \!x\\&=2r\int _{0}^{\pi }\sin {\theta }\operatorname {d} \!{(r\cos {\theta })}\\&=2r^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}{\theta }\operatorname {d} \!{\theta }\\&=2r^{2}\cdot {\frac {\pi }{2}}\\&=\pi r^{2}\end{alignedat}}$$

其中第二步用参数方程进行换元，第四步运用了公式$\sin ^{2}{\theta }={\frac {1-\cos {2\theta }}{2}}$进行积分.

对于周长，类似地也有

$${\begin{alignedat}{1}C&=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {({\frac {\operatorname {d} \!{x(\theta )}}{\operatorname {d} \!{\theta }}})^{2}+({\frac {\operatorname {d} \!{y(\theta )}}{\operatorname {d} \!{\theta }}})^{2}}}\operatorname {d} \!{\theta }\\&=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {(r\sin {\theta })^{2}+(r\cos {\theta })^{2}}}\operatorname {d} \!\theta \\&=2\int _{0}^{\pi }r\operatorname {d} \!{\theta }\\&=2\pi r\end{alignedat}}$$

其中的$x(\theta ),y(\theta )$都是参数方程.

有关定理

这里，我们不加以证明地给出有关定理及推论，详细证明请参见对应的条目.

垂径定理

垂径定理是有关圆的最基础的定理之一. 它表明如下四个结论中知道其中两个可以推出另外两个：对于圆$O$上的任意两点$A, B$，存在一条直线，

1. 平分弦$AB$；
2. 平分弧$\overset{\frown}{A B}$；
3. 垂直于弦$AB$；
4. 过圆心.

圆周角定理

圆周角定理表明了圆周角与圆心角之间的数量关系. 这里定义：对于圆上两点，

• 与圆上异于这两点的点的连线所形成的夹角称作圆周角；
• 于圆心连线的夹角称作圆心角.

则有圆心角恒等于圆周角的二倍. 这也说明同弧（或同弦）所对圆周角相等.

特别的，直径所对圆周角总是直角.

圆幂定理

对于平面内任意一点$P$和半径为$r$的圆$O$，定义$P$的圆幂

$$h=OP^{2}-r^{2}$$

而圆幂定理反映了线段乘积的关系：过点$P$引圆的切线或割线交于$A, B, C, D$，则有$PA\cdot PB=PC\cdot PD=h$. 切线或割线的选择不同，证明方法也不同，但大体可分为三类：割线定理（对于交点在圆外的两条割线）、切割线定理（一条切线、一条割线）、相交弦定理（对于交点在圆内的两条割线）.

四点共圆

两点确定唯一一条直线，故而三点共线就是一种值得研究特殊情况；同样的，三点确定唯一一个圆，故而四点共圆也是一种值得研究的特殊情况.

对于平面内不共线的四点而言，四点共圆（或者说四边形内接于圆）的判定方法有：

1. 到平面内一个点的距离都相等；
2. 两个底边相等的三角形的顶角相等（简称“定弦定角”）；
3. 四边形对角互补（即四边形的一个内角等于其对角的外角）；
4. 满足托勒密定理（见下）.

反之，这些命题的逆命题都是四点共圆的性质.

托勒密定理

如上所述，托勒密定理是圆内接四边形的重要性质之一. 托勒密定理指出：四边形的两组对边乘积的和小于等于等于对角线的乘积，等号成立当且仅当四边形是圆内接四边形.

古堡朝圣问题

这是一个古老的问题，传说它来自于这个故事：曾经有一位商人，也是一位虔诚的信徒. 每天从家前往商店的时候，都必须先去一座圆形古堡朝圣，然后前往商店. 问题是：如何规划路线，使得路线最短？

现在将其抽象成数学问题：如图，圆$O:x^{2}+y^{2}=r^{2}$上有一动点$P$，且在圆$O$外有两个定点$A$与$B$，求$AP+BP$最小值.（要求$AP,BP$不与圆相交，即路线不能穿过古堡）

现在分情况讨论：

1. AB与圆相切时，显然切点为所求的点，长度即为$|AB|$
2. AB与圆外离时，由于所求的是两条线段的和，可以联想到椭圆. 于是作以A,B为焦点的椭圆，交圆O于点$P_1, P_2$. 当这两个点不重合的时候，也即是圆有一部分在椭圆内部的时候，显然这一部分上的点到A,B的连线之和小于$AP_{1}+BP_{1}=AP_{2}+BP_{2}$，因此要取到最小值，当且仅当椭圆与圆只有一个交点，即椭圆与圆外切时，切点为所求的点. 上面相切的情况也可以认为是椭圆退化为了一条直线.
3. AB与圆相交时，同理可得圆与椭圆内切时值最小.

总之，对于非相切的一般情况，我们可以逐步缩小范围，从两点之间的圆弧的范围逐步缩小到切点这一个点的确定值. 由此可见，两条线段之和的最小值可以使用椭圆来辅助解决问题. 但上述方法也表明：古堡朝圣问题不能尺规作图求解.

上述过程中讨论了直线和圆，它们都是二次曲线的一种，将其推广到所有的二次曲线，由上述的推导过程可以类比得知：当二次曲线与椭圆有唯一的交点时，这个交点即为所求.