囿空间

囿空间（bornological space）又被称为有界型空间，我们知道局部凸空间上的连续线性算子一定有界，但是有界线性算子可以不连续，一个十分基本的例子是如果$(X, \| \cdot \|)$是无穷维的 Banach 空间，从它的弱拓扑形成的局部凸空间$(X, \sigma(X, X^*))$到强拓扑的空间$(X,\|\cdot \|))$的恒等映射是有界的（因为由一致有界原理，强有界等价于弱有界），但是它不是连续的（因为弱拓扑严格弱于强拓扑）。这样的映射不连续的原因是定义域空间$X$中的开集太少了，但是我们可以向定义域空间中增加开集，不过这样的话有界集可能就会变少（因为根据有界集的定义，对任意的原点的开邻域，有界集的某个数乘倍都要在这个邻域之中），我们自然会希望在有界集不减少的情况下给定义域空间上的拓扑加细，这就得到了囿空间。

等价定义

下面我们就给出囿空间的几个等价定义：

假设$(X, \tau)$是局部凸空间，它由一族半范数$P$决定，那么下面的叙述等价：

1. 对任意$X$上的局部凸的向量拓扑$\tau '$，如果$\tau '$中的有界集和$\tau$中的有界集一样多，那么$\tau '\leq \tau .$
2. $X$上的有界半范数都连续。
3. 吸收任意$X$中的有界集$B$的均衡凸开集$C$都是原点的邻域。
4. 对任意的局部凸空间$(Y,\tau_Y)$，有界线性映射$f:(X,\tau )\to (Y,\tau _{Y})$都连续。

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1. $(1)\Rightarrow (2)$：用反证法，假设存在一个$X$上不连续的有界半范数$p'$，记$P'=P\cap \{p'\}\neq P$决定的局部凸的向量拓扑记作$\tau '$，那么$\tau$和$\tau '$具有相同多的有界集（参见这个结论），那么由$p'$关于$\tau$的不连续性得到存在一个$\varepsilon > 0$使得$O(0;p';\varepsilon )=\{x\in X:p'(x)<\varepsilon \}$是$\tau '$中的开集但不是$\tau$中的开集，即$\tau '>\tau .$
2. $(2)\Rightarrow (3)$：记$C$的 Minkowski 泛函是$p_{C}$，由于$B$有界，即存在$\lambda > 0$使得$\lambda B\subset C$，于是对任意的$x \in B$都有$p_{C}(\lambda x)\leqslant 1$，于是$p_{C}(x)\leqslant 1/\varepsilon$，由$B$的任意性我们就得到$p_{C}$是有界映射，进而连续，于是存在$p\in P$以及原点的一个开邻域$O(0;p;1)=\{Px\in X:p(x)<1\}\subset C$。
3. $(3)\Rightarrow (4)$：我们只需要证明$f$在原点连续，任取$Y$中原点的邻域$O\subset \tau _{Y}$我们要证明$f^{-1}(O)$以$X$中的原点为内点，首先，对任意的$X$中的有界集$B$，$f(B)$在$Y$中有界，即对任意$Y$中原点的均衡开邻域$O$存在$\lambda > 0$使得$\lambda f(B)\subset O$，于是$\lambda B\subset f^{-1}(O)$，根据假设均衡凸集$f^{-1}(O)$以原点为内点。
4. $(4)\Rightarrow (1)$：恒等映射$i:(X,\tau )\to (X,\tau ')$是有界的，进而连续，即$\tau '$中的开集是$\tau$中的开集，即$\tau '\leq \tau .$

如果一个局部凸的拓扑线性空间满足上面的性质，我们就称这个空间是囿空间。实际上这类空间有很多，我们常见的赋范线性空间就是囿空间，更进一步我们可以用下面的一个结果：

我们也称吸收每个$X$中有界子集的集合是囿集。

如果局部凸空间$(X, \tau)$是第一可数的，那么$(X, \tau)$是囿空间。

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取一个$X$中原点的均衡凸邻域基$\{W_{n}\}$，由嵌套邻域基引理不妨假设$W_{n}\subset W_{n+1}$，那么令$W_n$的 Minkowski 泛函是$p_n$，这样我们有$p_{n}\leqslant p_{n+1}$，于是如果存在$X$上吸收任意有界集的均衡凸集$V$使其不以原点为内点，记这个凸集的 Minkowski 泛函是$p_{V}$，于是对任意原点的邻域$O(0;p_{n};1/n)$都存在$x_{n}\in O(0;p_{n};1/n)$使得$x_{n}\notin V$，于是$p_{n}(x_{n})<1/n,p(x_{n})>1$，于是$\{nx_{n}\}$是$X$中的有界集，因为对任意的$m \in \N^{+}$都有$$\sup _{n\in \mathbb {N} }p_{m}(nx_{n})=\sup _{n\leqslant m}\{1,np_{n}(x_{n})\}<+\infty .$$而$p_{V}(nx_{n})>n$，这就和$V$吸收任意有界集矛盾。

在我们一开始给的例子中，因为无穷维 Banach 空间上的弱拓扑始终都不是第一可数的，所以他自然不是囿空间，实际上反过来的结论可能更有用：只要是一个局部凸的拓扑线性空间，其上的弱拓扑严格弱于自然拓扑，那这个拓扑线性空间自然也不可能是第一可数的。

半囿和序列囿

如果一个局部凸空间$X$的每个有界线性泛函都是连续的，我们就称$X$是半囿空间；另如果局部凸空间$X$中的每个有界半范数都是序列连续的，我们就称$X$是序列囿空间。

囿空间是序列囿空间，反过来未必，但是凸序列空间的序列囿空间是囿空间。赋范线性空间及其弱拓扑（或者赋范线性空间的共轭空间及其*弱拓扑）形成的局部凸空间是半囿空间，这是因为根据一致有界原理，弱有界与强有界等价，但是这类空间一般可能不是序列囿空间，因为无穷维空间上的弱拓扑不是第一可数的，未必就有弱连续蕴含弱序列连续：

无穷维可分的 Hilbert 空间$X$的底集带上弱拓扑形成的局部凸空间$(X, \sigma(X, X^*))$是半囿空间，但不是序列囿空间。

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我们只需验证它不是序列囿空间，取$X$空间中的强开单位球$B=\{x\in X:\|x\|\leqslant 1\}$，它的 Minkowski 泛函$p_{B}$是强有界的，由于$X$上的强有界等价于弱有界，于是$p_{B}$也是弱有界的，下面我们证明它不是弱序列连续的，实际上任取$X$的完备单位正交基$\{e_{n}\}$，那么$p_{B}(e_{n})=\|e_{n}\|=1$，而$\{e_{n}\}$弱收敛于零，这就表明$p_{B}$不是弱序列连续的。

参考资料

1. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.
2. 汪林, 《拓扑空间与线性拓扑空间中的反例》, 现代数学基础第64卷, 高等教育出版社, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9759-5.