四頂點定理

微分幾何中的四頂點定理（four vertex theorem）是平面凸曲線的一個定理。

凸曲線

我們稱區間$[0, l]$上的一條平面光滑曲線$\boldsymbol{r} = \boldsymbol{r}(s)$是閉曲線，是指$\boldsymbol{r}^{(k)}(0) = \boldsymbol{r}^{(k)}(l).$這等價於$\boldsymbol{r}$是周期為$l$的光滑映射。

特別地，如果該曲線上沒有重點（即$\forall x, y \in [0, l), x \ne y, \boldsymbol{r}(x) \ne \boldsymbol{r}(y)$），我們就稱其為簡單閉曲線。

如果平面簡單閉曲線的曲率恆正，我們就稱其為凸曲線。

內容

稱曲線曲率導數為零的點為曲線的頂點。那麼，任何凸曲線至少有四個頂點，這就是四頂點定理，實際上，平面凸曲線的曲率要麼是常數，要麼至少有兩個極大值點和兩個極小值點，且極大值嚴格大於極小值。

逆命題

它的逆命題也是對的，即假設$\kappa(t): \R^2 \to \R$是恆正的連續周期函數，如果$\kappa$要麼是常數，要麼至少有兩個極大值點和兩個極小值點，且極大值嚴格大於極小值，那麼存在凸曲線$\boldsymbol{r}$，它以$\kappa$為曲率。

參考資料

1. 彭家貴, 陳卿, 《微分幾何（第2版）》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.