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微分几何中的四顶点定理(four vertex theorem)是平面凸曲线的一个定理。

凸曲线[]

我们称区间上的一条平面光滑曲线是闭曲线,是指这等价于是周期为的光滑映射。

特别地,如果该曲线上没有重点(即),我们就称其为简单闭曲线。

如果平面简单闭曲线的曲率恒正,我们就称其为凸曲线。

内容[]

称曲线曲率导数为零的点为曲线的顶点。那么,任何凸曲线至少有四个顶点,这就是四顶点定理,实际上,平面凸曲线的曲率要么是常数,要么至少有两个极大值点和两个极小值点,且极大值严格大于极小值。

逆命题[]

它的逆命题也是对的,即假设是恒正的连续周期函数,如果要么是常数,要么至少有两个极大值点和两个极小值点,且极大值严格大于极小值,那么存在凸曲线,它以为曲率。

参考资料

  1. 彭家贵, 陈卿, 《微分几何(第2版)》, 高等教育出版社, 北京, 2011-11, ISBN 978-7-0405-6950-6.
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