商模

商模（the quotient of a module）是一个模商掉它的一个子模后形成的模，它是将分母零化处理之后得到的等价类的集合。

商模在线性空间上的体现就是商空间。商模是模范畴上的商对象。

概念

设$M$是 R-模，$N$是$M$的子模，那么考察集合$M/N = \{ a + N: a \in M \}$，注意到$(M, +)$是交换群，因此$(N, +)$已经是$(M, +)$的正规子群了，因此$M/N$确实决定了一个商群，他的加法正是模$M$上的加法

$$r((a + N) + (b + N)) = r(a + b + N), \forall a, b \in M, r \in R.$$

现在我们要让$N$成为一个环，因此需要良定义合适的乘法，实际上它被如下定义

$$r(m + N) := rm + N, \forall r \in R, m \in M.$$

这样定义的原因是我们必须要求吸收性

$$rN \subseteq N, \forall r \in R.$$

这正是子模的第一种定义。

这样$M/N$称为一个模，被称为$M$商$N$的模（商模）。

泛性质

和商群以及商环一样，商模也有类似的泛性质。

设模$M$有子模$N$，那么对任意的模同态$\varphi: M \to M'$，若有$N \subseteq \text{Ker} \varphi$，那么存在一个唯一的模同态$\overline{\varphi}: M/N \to M'$，使得

$$\overline{\varphi} \circ \pi = \varphi.$$

其中$\pi: R \to R/I$是典范投影（是一个满同态），即下图可换。

且进一步

$$\text{Ker} \overline{\varphi} = \text{Ker} \varphi/N, \quad \text{Im} \overline{\varphi} = \text{Im} \varphi.$$

子模对应定理

借助商模我们可以将子模$M/N$和$M$中包含$N$的子模建立一个双射（同构）。

参考资料

1. Paolo Aluffi, Algebra: Chapter 0, GTM Vol.104, American Mathematical Society, 2009-08, ISBN 978-1-4704-6571-1.