商拓扑

在点集拓扑理论中，商拓扑（quotient topology）是形成新拓扑空间的重要手段之一。

定义

假设$X$是拓扑空间，$Y$是一个非空点集，映射$q: X \to Y$是一个满射。我们可以定义$Y$上的拓扑为：其中的集合$U \subset Y$是开集当且仅当$q^{-1}(U)$在$X$中是开集。这样的拓扑我们称为是由映射$q$诱导的商拓扑，同时称$q$是商映射（quotient map）。

$q: X \to Y$是商映射当且仅当$q$是满射且$V$是$Y$中的开集当且仅当$q^{-1}(V)$是$X$中的开集，商映射是连续映射，但不一定是开映射（因为它只能保证$q^{-1}(V)$的象集是开集，对不能写成$q^{-1}(V)$形式的$X$的子集无法保证它的象是开集）。

商空间

连续的满射一般来说可以通过等价类作商实现：假设$X$是拓扑空间，$\sim$是$X$上的一个等价关系，那么自然映射$\pi: X \to X/\sim$是一个满射，在空间$X/\sim$上约定$U \subset X/\sim$是开集当且仅当$\pi^{-1}(U)$是$X$的开集，这样形成一个拓扑空间$X/\sim$被称为商空间（quotient space）。

纤维和饱和集

商映射未必是开映射，下面我们就详细讨论它们的关系：假设$X, Y$是非空集合，映射$q: X \to Y$，给定$y \in Y$，我们称$q^{-1}(y) \subset X$是$y$对应的纤维（fibre），一个集合$U \subset X$称为关于映射$q$是饱和的（saturated）是指存在$V \subset Y$使得$U = q^{-1}(V).$

可以证明，在上面的假设下，以下几款等价：

1. $U$关于$q$饱和。
2. $U = q^{-1}(q(U)).$
3. $U$是一些纤维的并集。
4. 若$x \in U$，那么每一个满足$q(x) = q(x')$的$x' \in X$也满足$x' \in U.$

如下命题是商映射的开映射特征：

一个连续满射$q: X \to Y$是商映射当且仅当它把饱和开集映成开集，或者把饱和闭集映成闭集。

如果$q: X \to Y$是商映射，$U$是饱和开集或闭集，那么限制映射$q|_U: U \to q(U)$是商映射。

商拓扑的特征性质

像子拓扑和乘积拓扑一样，商拓扑也有特征性质的交换图。

假设$X, Y$是拓扑空间，$q: X \to Y$是商映射，那么对任意拓扑空间$Z$，映射$f: Y \to Z$连续当且仅当$f \circ q$连续。且商拓扑是唯一满足这个性质的拓扑。

假设$X, Y$是拓扑空间，$q: X \to Y$是商映射，那么对任意拓扑空间$Z$以及在每个纤维上是常数的连续映射$f: X \to Z$，都存在唯一的连续映射$\overline{f}: Y \to Z$使得下式成立：

$$\overline{f} \circ q = f.$$

其它性质

1. 一个连续的满射，如果映开集为开集或映闭集为闭集，那么它是商映射。
2. 从紧空间到 Hausdorff 空间的连续满映射是商映射，这个性质在证明一些商空间的同胚时用得很多。
3. 商映射的复合是商映射。
4. 单的商映射是同胚。
5. 如果$q: X \to Y$是商映射，$Y$的子集$K$是闭集当且仅当$q^{-1}(K)$在$X$中闭。

参考资料

1. John M. Lee, Introduction to Topological Manifolds(2nd Ed.), Springer, New York, 2010-12, ISBN 978-1-4419-7939-1.