周期函数

函数的周期性是一个重要特征，主要探讨一元函数（实的或复的）的周期性。概周期是周期的弱化。三角周期函数在傅里叶分析中是作为基底存在的。

周期

设定义在$\R$（或$\mathbb{C}$）上的一元函数$f(x)$，如果存在一非零常数$n$，使得对任意的$x \in D(f)$

$$f(x + n) = f(x)$$

我们就称函数$f(x)$是周期函数，同时称$n$是$f(x)$的一个周期。

显然一个周期函数的周期并不是唯一的，如果$n$是它的一个周期，该周期的任意整数倍以及两个不同周期之和依然是原函数的周期，特别地，如果一个函数有最小的正周期，我们将该周期记作$T.$

需要指出的是，一个实函数如果没有周期，作复延拓之后可能会存在周期，例如复指数函数。

常见的周期函数

1. 常函数：唯一无最小正周期的连续函数。
2. 三角系函数：正弦函数和余弦函数、正割函数和余割函数，最小正周期为$2\pi$，正切函数和余切函数，最小正周期为$\pi.$
3. 有理三角函数$R(\sin \theta, \cos \theta)$，有些也具有周期。
4. Dirichlet 函数及其衍生函数。
5. 取整函数衍生出的一些函数，如取小数函数，它的最小正周期为1.
6. 任意定义在半开半闭有限区间上的函数，都可以用周期函数定义的形式将其定义延拓到整个实轴上去。

性质

1. 没有最小正周期的周期函数是存在的，如常函数和 Dirichlet 函数。
2. 任一连续的非常值周期函数必有最小正周期，进一步，若非常值的周期函数至少有一个连续点，则该函数必有最小正周期。
3. 没有最小正周期的非常值周期函数必定是无处连续的，但无处连续的非常值函数不一定就没有最小正周期。
4. 同周期函数的和与差依然是同周期的周期函数，但是不同周期的函数和差不一定会是周期函数，例如：$\sin x + \sin \sqrt{2}x$。
5. 假设$f, g$分别具有最小正周期$T_1, T_2$，
   1. 若${\dfrac {T_{1}}{T_{2}}}$是有理数，不妨假设这个有理数的最简分式表示为$\dfrac{a}{b}$，那么$f+g$是周期函数，且它的最小正周期为$aT_{2}=bT_{1}.$
   2. 若${\dfrac {T_{1}}{T_{2}}}$是无理数，那么$f+g$一定不是周期函数。
   3. 若条件$f, g$是周期函数但未必有最小正周期，则${\dfrac {T_{1}}{T_{2}}}$是无理数未必蕴含$f+g$一定不是周期函数。
6. 周期函数的有限次复合仍然是周期函数。
7. 双镜效应：一个函数，如果至少有两条对称轴（或对称中心）$x = b$和$x = c \ne b$，那么它是周期函数，且$2|b-c|$为它的一个周期。
8. 以$x=a$为对称轴，$x = b \ne a$为对称中心的函数是周期函数，$4|a+b|$是它的一个周期。
9. 有界实函数$f(x)$是周期为$T$的周期函数的充要条件是$f(x + T) = \dfrac{f(x) + f(x+2T)}{2}.$
10. 设$f(x)$以$T$为周期，且$[0, T)$上$f(x)$严格单调，那么$f(x^2)$不再是周期函数。
11. 周期函数的另一重要性质就是一个周期上的取值就可以把握整体取值，例如，一个周期函数在一个周期内有界，那么函数在全定义域上有界。
12. 若定义在实轴上的周期函数$f(x)$满足$\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$，那么$f(x)$恒为零。
13. 可导的周期函数的导数依然是周期函数，且有相同周期。
14. 全实轴上连续的一元实周期函数一定一致连续。
15. 可积的周期函数$f(x)$，它的原函数是周期函数的充要条件是$f(x)$在一个周期上的积分为零。

周期延拓

设定义在有限半开半闭区间$[a, b)$上的函数$f(x)$，我们将它的定义延拓到整个实轴上去，使得它成为周期函数，且有周期$b-a$：

$$F(x) = f\left(x - \left[ \dfrac{x}{b-a} \right](b-a)\right)$$

上式中$[x]$表示取整函数。

有时候我们还要求将一部分延拓到整个实轴上时还具有奇偶性，最常见的就是将定义在$[0, a)$上的函数$f(x)$延拓到实数轴上去并且成为奇函数，那么可以先做奇延拓，再用上述周期延拓的方法。

初等函数做周期延拓之后，函数可能不再是初等函数了。