含参变量的积分

数学分析中，含参变量的积分是如下式的积分函数 $$I(x) = \int_a^b f(x, t)\mathrm{d}t$$ 其中，$x \in I, t \in [a, b]$，函数$f(x, t)$是定义在矩形域$I \times [a, b]$上的二元连续函数。

该积分固定$x = x_0$，得到一元定积分$\int_a^b f(x_0, t) \mathrm{d}t$，它的值为$I(x_0)$，这样，$I(x)$就是定义在$I$上的一个一元实函数。

性质

我们可以证明，上述函数（也称积分）$I(x)$具有下述性质

1. 连续性：$I(x)$连续于区间$I;$
2. 导数：若$f_x (x, t)$在$I \times [a, b]$上连续，则$I'(x) = \int_a^b f_x (x, t) \mathrm{d}t;$

上述两条性质也可以理解为

1. 求极限符号可以和积分符号交换，即$\lim_{x \to x_0} \int_a^b f(x, t) \mathrm{d}t = \int_a^b \lim_{x \to x_0} f(x, t) \mathrm{d}t;$
2. 求导符号可以和积分符号交换，即$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^b f(x, t) \mathrm{d}t = \int_a^b \dfrac{\partial}{\partial x} f(x, t) \mathrm{d}t.$

含参变量的变限积分

设$a(x), b(x)$连续于$I$，二元函数$f(x, t)$连续于$I \times [a, b]$，且$a \leqslant a(x), b(x) \leqslant b$，那么下面的积分称为含参变量的变限积分 $$I(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(x, t) \mathrm{d}t.$$ 它依然是定义在区间$I$上的一元实函数。

可以证明它有下述性质：

1. 连续性：$I(x)$连续于区间$I;$
2. 导数：若$f_x (x, t)$在$I \times [a, b]$上连续且$a'(x), b'(x)$在$I$上存在，则$$\begin{align} I'(x) & = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_{a(x)}^{b(x)} f (x, t) \mathrm{d}t \\ & = \int_{a(x)}^{b(x)} f_x (x, t) \mathrm{d}t + b'(x) f \big( x, b(x) \big) - a'(x) f \big( x, a(x) \big). \end{align}$$

可积性

设$f(x, y)$定义在矩形域$[a, b]\times [c, d]$上，考虑 $$F(y) = \int_a^b f(x, y) \mathrm{d}x, \quad G(x) = \int_c^d f(x, y) \mathrm{d}y$$ 的积分，我们做如下记号 $$\begin{array}{rcl} \displaystyle{\int}_c^d \mathrm{d}y \displaystyle{\int}_a^b f(x, y) \mathrm{d}x & = & \displaystyle{\int}_c^d F(y) \mathrm{d}y, \\ \displaystyle{\int}_a^b \mathrm{d}x \displaystyle{\int}_a^b f(x, y) \mathrm{d}y & = & \displaystyle{\int}_c^d G(x) \mathrm{d}x. \end{array}$$ 如果上述两个积分相等，我们就说$f(x, y)$在矩形域$[a, b]\times [c, d]$上的二次积分可以交换次序。可以证明，当函数$f(x, y)$在$[a, b]\times [c, d]$上连续时，上述两个积分是相等的，即 $$\int_c^d \mathrm{d}y \int_a^b f(x, y) \mathrm{d}x = \int_a^b \mathrm{d}x \int_c^d f(x, y) \mathrm{d}y.$$

上下节

• 上一节：隐函数
• 下一节：含参变量的反常积分

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.