含參變量的反常積分

在數學分析中，含參變量的反常積分是一類概率論和數理方程中廣泛應用的一類積分。

概念

函數$f(x, t)$是定義在矩形域$I \times [a, +\infty)$上的二元函數，那麼下式積分 $$I(x) = \int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$$ 便稱作含參變量的無窮限積分，類似地我們可以定義含參變量的瑕積分 函數$f(x, t)$是定義在矩形域$I \times [a, b)$上的二元函數，且固定$x_0 \in I, t = b$是一元實函數$f(x_0, t)$的一個瑕點，那麼下式積分 $$I(x) = \int_a^b f(x, t)\mathrm{d}t$$ 便稱作含參變量的瑕積分。瑕積分可以轉化為無窮限積分，因此以下我們只討論無窮限積分。

無窮限積分$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$可以認為是函數項級數$\sum_{n=[a]+1}^\infty f_n (x)$ 的漸近和式，因此很多性質可以受函數項級數的啟發來引入到含參變量的無窮限積分中。

逐點收斂與一致收斂

函數$f(x, t)$定義在矩形域$I \times [a, +\infty)$上，對於每一個$x_0 \in I$，無窮限積分$\int_a^{+\infty} f(x_0, t) \mathrm{d}t$都收斂，我們就稱含參變量的無窮限積分$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$在$x \in I$上逐點收斂，即$\forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \exists A_0(\varepsilon, x) > a$，當$A > A_0(\varepsilon, x)$時有$\left| \int_A^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t \right| < \varepsilon.$

稱含參變量的無窮限積分$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$在$x \in I$上一致收斂，如果$\forall \varepsilon > 0, \exists A_0(\varepsilon) > a$，當$A > A_0(\varepsilon)$時$\forall x \in I$有$\left| \int_A^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t \right| < \varepsilon.$

上式中的$A_0(\varepsilon)$僅與$\varepsilon$有關而與$x$無關。

收斂判別法

Cauchy 收斂準則

對於$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$在$x \in I$上的逐點收斂和一致收斂性，都有相應的 Cauchy 充要條件，即

1. 逐點收斂：$\forall \varepsilon > 0, \forall x \in I, \exists A_0(\varepsilon, x) > a$，當$A_1, A_2 > A_0(\varepsilon, x)$時有$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x, t) \mathrm{d}t \right| < \varepsilon;$
2. 一致收斂：$\forall \varepsilon > 0, \exists A_0(\varepsilon) > a$，當$A_1, A_2 > A_0(\varepsilon)$時$\forall x \in I$有$\left| \int_{A_1}^{A_2} f(x, t) \mathrm{d}t \right| < \varepsilon.$

Weierstrass 判別法

又稱 M 判別法、控制判別法，它是用一個一元函數$F(t)$控制$f(x, t)$而引入的，這是說

設定義在矩形域$I \times [a, +\infty)$上函數$f(x, t)$滿足$|f(x, t)| \leqslant F(t), \forall x \in I, \forall t \in [a, +\infty)$，那麼如果$\int_a^{+\infty} F(t) \mathrm{d}t$收斂，那麼$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$在$x \in I$上絕對一致收斂。

Dirichlet 判別法

設二元函數$f(x, t), g(x, t)$定義在矩形域$I \times [a, +\infty)$上，且有

1. 積分$\int_a^A f(x, t) \mathrm{d}t$對於$A \geqslant a$和$x \in I$一致有界，即$\exists K > 0, \forall A \geqslant a, \forall x \in I, \left| \int_a^A f(x, t) \mathrm{d}t \right| \leqslant K;$
2. 函數$g(x, t)$關於$t$單調，且$t \to +\infty$時$g(x, t)$對於任意$x \in I$一致趨於零。

我們就說$\int_a^{+\infty} f(x, t) g(x, t) \mathrm{d}t$關於$x$在$I$上一致收斂。

Abel 判別法

設二元函數$f(x, t), g(x, t)$定義在矩形域$I \times [a, +\infty)$上，且有

1. 積分$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$關於$x \in I$一致收斂；
2. 函數$g(x, t)$關於$t$單調，且$g(x, t)$關於$x \in I$一致有界。

我們就說$\int_a^{+\infty} f(x, t) g(x, t) \mathrm{d}t$關於$x$在$I$上一致收斂。

性質

連續性

若函數$f(x, t)$是定義在矩形域$I \times [a, +\infty)$上的二元連續函數，且積分 $$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$$ 關於$x \in I$一致收斂，那麼該積分確定的函數$I(x) = \int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$是一個一元連續實函數。

可微性

若函數$f(x, t), f_x (x, t)$是定義在矩形域$I \times [a, +\infty)$上的二元連續函數，且積分$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$逐點收斂，積分$\int_a^{+\infty} f_x (x, t) \mathrm{d}t$關於$x \in I$一致收斂，那麼 $$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t = \int_a^{+\infty} \dfrac{\partial}{\partial x} f(x, t) \mathrm{d}t.$$

可積性

若函數$f(x, t)$是定義在矩形域$[c, d] \times [a, +\infty)$上的二元連續函數，且積分 $$\int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t$$ 關於$x \in I$一致收斂，那麼下列二次積分可以交換次序： $$\int_c^d \mathrm{d}x \int_a^{+\infty} f(x, t) \mathrm{d}t = \int_a^{+\infty} \mathrm{d}t \int_c^d f(x, t) \mathrm{d}x.$$

上下節

• 上一節：含參變量的積分
• 下一節：Euler 積分

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.