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在数学分析中,含参变量的反常积分是一类概率论和数理方程中广泛应用的一类积分。

概念[]

函数是定义在矩形域上的二元函数,那么下式积分

便称作含参变量的无穷限积分,类似地我们可以定义含参变量的瑕积分 函数是定义在矩形域上的二元函数,且固定是一元实函数的一个瑕点,那么下式积分
便称作含参变量的瑕积分。瑕积分可以转化为无穷限积分,因此以下我们只讨论无穷限积分。

无穷限积分可以认为是函数项级数 的渐近和式,因此很多性质可以受函数项级数的启发来引入到含参变量的无穷限积分中。

逐点收敛与一致收敛[]

函数定义在矩形域上,对于每一个无穷限积分都收敛,我们就称含参变量的无穷限积分上逐点收敛,即,当时有

称含参变量的无穷限积分上一致收敛,如果,当

上式中的仅与有关而与无关。

收敛判别法[]

Cauchy 收敛准则[]

对于上的逐点收敛和一致收敛性,都有相应的 Cauchy 充要条件,即

  1. 逐点收敛:,当时有
  2. 一致收敛:,当

Weierstrass 判别法[]

又称 M 判别法、控制判别法,它是用一个一元函数控制而引入的,这是说

设定义在矩形域上函数满足,那么如果收敛,那么上绝对一致收敛。

Dirichlet 判别法[]

二元函数定义在矩形域上,且有

  1. 积分对于一致有界,即
  2. 函数关于单调,且对于任意一致趋于零。

我们就说关于上一致收敛。

Abel 判别法[]

二元函数定义在矩形域上,且有

  1. 积分关于一致收敛;
  2. 函数关于单调,且关于一致有界。

我们就说关于上一致收敛。

性质[]

连续性[]

若函数是定义在矩形域上的二元连续函数,且积分

关于一致收敛,那么该积分确定的函数是一个一元连续实函数。

可微性[]

若函数是定义在矩形域上的二元连续函数,且积分逐点收敛,积分关于一致收敛,那么

可积性[]

若函数是定义在矩形域上的二元连续函数,且积分

关于一致收敛,那么下列二次积分可以交换次序:

上下节[]

参考资料

  1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.
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