在数学分析中,含参变量的反常积分是一类概率论和数理方程中广泛应用的一类积分。
概念[]
函数
是定义在矩形域
上的二元函数,那么下式积分

便称作含参变量的无穷限积分,类似地我们可以定义含参变量的瑕积分
函数

是定义在矩形域

上的
二元函数,且固定

是一元实函数

的一个瑕点,那么下式积分

便称作含参变量的瑕积分。瑕积分可以转化为无穷限积分,因此以下我们只讨论无穷限积分。
无穷限积分
可以认为是函数项级数
的渐近和式,因此很多性质可以受函数项级数的启发来引入到含参变量的无穷限积分中。
逐点收敛与一致收敛[]
函数
定义在矩形域
上,对于每一个
,无穷限积分
都收敛,我们就称含参变量的无穷限积分
在
上逐点收敛,即
,当
时有
称含参变量的无穷限积分
在
上一致收敛,如果
,当
时
有
上式中的
仅与
有关而与
无关。
收敛判别法[]
对于
在
上的逐点收敛和一致收敛性,都有相应的 Cauchy 充要条件,即
- 逐点收敛:
,当
时有
- 一致收敛:
,当
时
有
Weierstrass 判别法[]
又称 M 判别法、控制判别法,它是用一个一元函数
控制
而引入的,这是说
设定义在矩形域
上函数
满足
,那么如果
收敛,那么
在
上绝对一致收敛。
设二元函数
定义在矩形域
上,且有
- 积分
对于
和
一致有界,即
- 函数
关于
单调,且
时
对于任意
一致趋于零。
我们就说
关于
在
上一致收敛。
设二元函数
定义在矩形域
上,且有
- 积分
关于
一致收敛;
- 函数
关于
单调,且
关于
一致有界。
我们就说
关于
在
上一致收敛。
性质[]
连续性[]
若函数
是定义在矩形域
上的二元连续函数,且积分

关于

一致收敛,那么该积分确定的函数

是一个一元连续实函数。
可微性[]
若函数
是定义在矩形域
上的二元连续函数,且积分
逐点收敛,积分
关于
一致收敛,那么

可积性[]
若函数
是定义在矩形域
上的二元连续函数,且积分

关于

一致收敛,那么下列二次积分可以交换次序:

上下节[]
参考资料