向量(vector)是空間中重要的元素, 它可以將代數運算直接引入幾何中, 是線性空間的幾何基礎.
概念及表示
空間中向量又稱矢量, 它是指有大小和方向的量. 通常, 我們可以用加粗的小寫字母(印刷體)或小寫字母上加右箭頭來表示, 如
, 一個向量也可以用有向線段
來表示, 向量的大小用這條線段的長度
表示, 向量的方向用
到
的指向表示.
我們可以知道兩個向量相等當且僅當它們的大小和方向相等, 而與位置無關. 如果兩個向量在經過平移後重合, 我們就可斷言這兩個向量相等.
向量
的大小也叫做向量
的長度, 或向量
的模(長), 記為
.
特別的, 我們把長度為零的向量稱為零向量, 記為
, 手寫體記為
, 零向量不定義方向, 或者說, 零向量的方向是任意的;我們把長度為
的向量稱為單位向量, 與
同向的單位向量記作
;我們把與向量
大小相等方向相反的向量稱為
的反向量, 記作
.
向量的運算
向量加法
向量加法的三角形法則:對於向量
,作有向線段
和
分別表示
,我們就把
表示的向量
稱為向量
與
的和,記作
,也就是
。
向量加法的平行四邊形法則:對於向量
,從同一起點
作有向線段
和
分別表示
,再以
和
為邊作平行四邊形
,我們就把
表示的向量
稱為向量
與
的和,記作
。
容易知道, 向量的加法與兩種法則中起點的選擇無關.
(1). 如圖(1), 作
表示
表示
表示
則


(2). 如圖(2), 作
表示
表示
, 以
和
為邊作平行四邊形
則
, 且
, 從而
(3). 作
表示
表示
, 則有
這證明了
有右單位元, 由於向量加法是可交換的, 所以
有單位元.
(4). 作
表示
, 則
這證明了
有右逆元, 由於向量加法是可交換的, 所以
有逆元.
加法的逆元常稱為負元.
向量數乘
現定義向量的數量乘法運算:實數
與向量
的乘積
是一個向量, 它的大小為
當
時, 其方向與
相同, 當
時, 其方向與
相反, 當
時,
, 所以
.
性質1和2由定義直接得到, 下證明3和4.
證(3) 當
時, 等式兩側都為
(或皆為
), 等式成立.
當
時, 若
, 則
和
同向, 所以
和
同向, 且有
若
不妨設
分以下三種情況
①若
則
所以等式成立.

②若

考慮到

由前者

情況的證明易得

③若

由於

與

同號, 於是由前者

情況的證明可知
![{\displaystyle {\begin{array}{rcl}~~[(\lambda +\mu )+(-\lambda )]{\vec {a}}&=&(\lambda +\mu ){\vec {a}}+(-\lambda ){\vec {a}}\end{array}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/16b475c262ce032002e43bef9d5ebf47aac26fe5)

類似②的討論可得結果.
向量三角不等式
對於任意向量

, 都有

當且僅當

時取等號.
向量的線性組合
對於一組向量
和一組實數
, 稱向量
為向量組
的一個線性組合, 稱
為該組合的係數.
將向量組的每個向量的起點移至同一點之後, 如果它們的終點在同一直線(平面)上, 稱這些向量是共線(共面)的.
向量空間的一組元素中, 若沒有向量可用有限個其他向量的線性組合所表示, 則稱為線性無關或線性獨立, 反之則稱為線性相關. 所以, 我們可以證明「兩個向量共線當且僅當它們是線性相關的」以及「三個向量共面當且僅當它們是線性相關的」. 這將在線性代數中作為推論給出, 這裡僅證明它們的等價命題.
向量

共線當且僅當存在不全為零的實數

, 使得下列式子成立.

向量

共面當且僅當存在不全為零的實數

, 使得下列式子成立.

由以上證明, 我們可以得出下面三點共線和四點共面的結論:
三點

共線當且僅當任取一點

, 存在不全為零的實數

, 使得下列式子成立.
且
四點

共面當且僅當任取一點

, 存在不全為零的實數

, 使得下列式子成立.
且
同時我們也會得到下面點在線面上的相關結論:
點

在直線

上當且僅當任取一點

, 存在實數

, 使得下列式子成立.
且
點

在平面

上當且僅當任取一點

, 存在實數

, 使得下列式子成立.
且
最後我們再引出下一節要用到的一個定理, 這個定理可以說明空間中給定三個不共面的向量後其餘任意向量表法唯一.
空間中任意給定三個不共面的向量

則存在唯一的實數

使得空間中任意一個向量

, 我們就把向量

稱為這個空間的一個基底, 把向量

用下面的有序數對表示:
或