向量是线性代数中的基本对象之一。在线性代数中,向量可以进行线性运算(加法和数乘),而向量组则是某些向量的集合,它对于后续矩阵的秩以及线性空间理论有奠基作用。
向量空间[]
数域上的阶矩阵
被称为是元列向量(column vector),而阶矩阵
被称为是元行向量(row vector),它们两个统称为元向量(vector)。
元向量带上向量的加法以及数乘构成一个元向量空间(vector space),记作,简写为。
向量组[]
设,则称为一个元向量组(a system of vectors),这里的是向量组中每个向量自由变量的个数,而非向量组中向量的个数,与可以是不同的数。
线性表出[]
设,如果存在不全为零的数使得
就成向量可被向量组线性表出(linearly representable),上述等式也叫是的一个线性组合(linear combination)。
线性相关性[]
如果一个向量组中至少有一个向量能被其余向量组成的向量组线性表出,就称该向量组是线性相关的(linear dependent),否则称该向量组线性无关(linear independent)。
当向量组中只有一个元素的时候,该向量组线性相关当且仅当向量组中唯一的向量是零向量。
上述定义和下面的表述等价:
设,设使得
如果,就称向量组线性无关,否则称它们线性相关。
部分组[]
设
若向量组线性相关,那么也线性相关,若线性无关,则也线性无关。
向量组被称为是向量组的一个部分组(a subsystem of a system of vectors)。
推论:如果一个向量组中含有零向量,那么这个向量组是线性相关的。
参见[]
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参考资料
- 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN
978-7-0304-0417-6
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线性代数(学科代码:1102110,GB/T 13745—2009) | |
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