向量積

這個頁面介紹$n$維 Euclid 空間中向量的向量積，它是$n-1$個$n$維向量張成的正交補空間中的單位向量，且和原來的$n-1$個向量構成和給定的單位正交標架同向的正交標架，在外積的理論中，它和$n-1$個$n$維向量的$n-1$重外積同構。

概念

我們用純幾何的方式來定義向量積，給定$\R^n$上的單位正交標架$\{O;{\boldsymbol {e_{1}}},{\boldsymbol {e_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {e_{n}}}\}$以及其中的$n-1$個向量${\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {a_{n-1}}}$，我們定義它們的向量積是 $${\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {a_{n-1}}}=\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {a_{n-1}}},{\boldsymbol {e_{i}}}){\boldsymbol {e_{i}}}.$$ 其中，${\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {a_{n-1}}},{\boldsymbol {e_{i}}}$是$\R^n$中的$n$維混合積。

由此根據混合積的反對稱性以及$n$重線性性可知，我們定義的向量積運算是從$(\R^n)^{n-1} \to \R^n$的反對稱的$n-1$重線性映射。

在上述定義中，外積的結果嚴格依賴於空間的定向（這由單位正交標架$\{O;{\boldsymbol {e_{1}}},{\boldsymbol {e_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {e_{n}}}\}$決定），我們知道任意有限維空間都有兩種定向，我們通常選擇在二維平面上以逆時針定向為正，三維空間中以右手系的定向為正（由此定義出的三維外積是右手系的），在一般的空間中我們很難說哪個定向是正的，因此我們索性就直接給定一個正定向，並定義與此相匹配的外積，即$\{{\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {a_{n-1}}},{\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {a_{n-1}}}\}$與$\{{\boldsymbol {e_{1}}},{\boldsymbol {e_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {e_{n}}}\}$同向（即前者的表示矩陣的行列式非負）。

性質

以下均假設出現的向量是$n$維的，且已給定了一個$\R^n$上的單位正交標架$\{O;{\boldsymbol {e_{1}}},{\boldsymbol {e_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {e_{n}}}\}$

1. 只要$n-1$個向量非零，我們就有${\text{span}}\{{\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {a_{n-1}}}\}\oplus {\text{span}}\{{\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {a_{n-1}}}\}=\mathbb {R} ^{n}.$
2. $({\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {a_{n-1}}},{\boldsymbol {a_{n}}})=({\boldsymbol {a_{1}}},{\boldsymbol {a_{2}}},\cdots ,{\boldsymbol {a_{n}}}).$
3. 假設$\boldsymbol{T}$是正交矩陣，那麼$\langle {\boldsymbol {Ta_{1}}}\times {\boldsymbol {Ta_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {Ta_{n-1}}},{\boldsymbol {Ta_{n}}}\rangle =(\det {\boldsymbol {T}})\langle {\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {a_{n-1}}},{\boldsymbol {a_{n}}}\rangle .$其中$\langle,\rangle$是$\R^n$上的內積。
4. 假設$\boldsymbol{T}$是正交矩陣，那麼${\boldsymbol {Ta_{1}}}\times {\boldsymbol {Ta_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {Ta_{n-1}}}=(\det {\boldsymbol {T}}){\boldsymbol {T}}({\boldsymbol {a_{1}}}\times {\boldsymbol {a_{2}}}\times \cdots \times {\boldsymbol {a_{n-1}}}).$