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这个页面介绍Euclid 空间中向量的向量积,它是维向量张成的正交补空间中的单位向量,且和原来的个向量构成和给定的单位正交标架同向的正交标架,在外积的理论中,它和维向量的重外积同构。

概念[]

我们用纯几何的方式来定义向量积,给定上的单位正交标架以及其中的个向量,我们定义它们的向量积是

其中,中的维混合积

由此根据混合积的反对称性以及重线性性可知,我们定义的向量积运算是从的反对称的重线性映射。

在上述定义中,外积的结果严格依赖于空间的定向(这由单位正交标架决定),我们知道任意有限维空间都有两种定向,我们通常选择在二维平面上以逆时针定向为正,三维空间中以右手系的定向为正(由此定义出的三维外积是右手系的),在一般的空间中我们很难说哪个定向是正的,因此我们索性就直接给定一个正定向,并定义与此相匹配的外积,即同向(即前者的表示矩阵的行列式非负)。

性质[]

以下均假设出现的向量是维的,且已给定了一个上的单位正交标架

  1. 只要个向量非零,我们就有
  2. 假设是正交矩阵,那么其中上的内积。
  3. 假设是正交矩阵,那么
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