这个页面介绍
维 Euclid 空间中向量的向量积,它是
个
维向量张成的正交补空间中的单位向量,且和原来的
个向量构成和给定的单位正交标架同向的正交标架,在外积的理论中,它和
个
维向量的
重外积同构。
概念[]
我们用纯几何的方式来定义向量积,给定
上的单位正交标架
以及其中的
个向量
,我们定义它们的向量积是

其中,

是

中的
维混合积。
由此根据混合积的反对称性以及
重线性性可知,我们定义的向量积运算是从
的反对称的
重线性映射。
在上述定义中,外积的结果严格依赖于空间的定向(这由单位正交标架
决定),我们知道任意有限维空间都有两种定向,我们通常选择在二维平面上以逆时针定向为正,三维空间中以右手系的定向为正(由此定义出的三维外积是右手系的),在一般的空间中我们很难说哪个定向是正的,因此我们索性就直接给定一个正定向,并定义与此相匹配的外积,即
与
同向(即前者的表示矩阵的行列式非负)。
性质[]
以下均假设出现的向量是
维的,且已给定了一个
上的单位正交标架
- 只要
个向量非零,我们就有

- 假设
是正交矩阵,那么
其中
是
上的内积。
- 假设
是正交矩阵,那么