向量的混合積

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在這裏你將了解到有關空間曲面曲線以及空間變換的相關知識，希望你能收穫更多！

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在解析幾何中，向量的混合積是一個三元代數運算，它是解決有關體積的度量問題的工具。高維空間中混合積表徵了$n$維空間中平行$2n$面體的定向$n$維體積，它可以直接由行列式定義，由於混合積是幾何不變量，藉助行列式給出它的定義時需要驗證和坐標系（至少同定向的坐標系）的選取無關。

定義

在幾何空間中，設三個向量$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$，稱$\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}$為這三個向量的混合積。該式運算時應始終先算外積再算內積，它的結果是一個實數，其幾何意義是以$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$為三個鄰邊的平行六面體的定向體積。

可以證明混合積有以下兩個性質：

1. $\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a} \cdot \vec{b};$
2. $\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}.$

因此，$\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c}$有時也記作$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$，這種表示是一個有序向量組。

坐標表示

設有仿射標架$[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]$，且向量$\vec{a} = a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3}$，$\vec{b} = b_1 \vec{d_1} + b_2 \vec{d_2} + b_3 \vec{d_3}$，$\vec{c} = c_1 \vec{d_1} + c_2 \vec{d_2} + c_3 \vec{d_3}$，它們的混合積的值是 $$\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} \times \vec{d_3}.$$

如果這個仿射標架是右手直角標架$[O; \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}]$，有$\vec{e_1} \times \vec{e_2}, \cdot \vec{e_3} = 1$，那麼 $$\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix}.$$ 上式可用作混合積的行列式定義，只是為了它是幾何量需要證明：對任意的其他的三維單位正交標架$[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]$，假設這兩個標架之間的過渡矩陣為$T$（是正交矩陣），成立： $$(T\vec{a}) \cdot (T\vec{b}) \times (T\vec{c}) = |T|(\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}).$$ 這件事情是容易證明的。且容易將它推廣到高維空間中。

關係式

混合積有如下關係式成立：

1. $|\vec{a} \cdot \vec{b} \times \vec{c}| \leqslant |\vec{a}| |\vec{b}| |\vec{c}|;$
2. $(\vec{a} \times \vec{b}, \vec{b} \times \vec{c}, \vec{c} \times \vec{a}) = (\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})^2;$
3. $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{c} & \vec{a} \cdot \vec{d} \\ \vec{b} \cdot \vec{c} & \vec{b} \cdot \vec{d} \end{vmatrix};$
4. $(\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c})(\vec{d} \times \vec{e} \cdot \vec{f}) = \begin{vmatrix} \vec{a} \cdot \vec{d} & \vec{a} \cdot \vec{e} & \vec{a} \cdot \vec{f} \\ \vec{b} \cdot \vec{d} & \vec{b} \cdot \vec{e} & \vec{b} \cdot \vec{f} \\ \vec{c} \cdot \vec{d} & \vec{c} \cdot \vec{e} & \vec{c} \cdot \vec{f} \end{vmatrix}.$

向量共面

設一幾何空間中有三個向量$\vec{a} = a_1 \vec{d_1} + a_2 \vec{d_2} + a_3 \vec{d_3}$，$\vec{b} = b_1 \vec{d_1} + b_2 \vec{d_2} + b_3 \vec{d_3}$，$\vec{c} = c_1 \vec{d_1} + c_2 \vec{d_2} + c_3 \vec{d_3}$，它們共面當且僅當$(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \\ \end{vmatrix} = 0$

進而可得一仿射標架中四個點$A_i (x_i, y_i, z_i), i = 1,2,3,4$共面的充要條件是 $$\begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \\ y_1 & y_2 & y_3 & y_4 \\ z_1 & z_2 & z_3 & z_4 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{vmatrix} = 0$$

高維推廣

高維空間的混合積是用行列式定義的，假設$\R^n$（也可以是其它數域）上有$n$個$n$維向量，它在一個單位正交標架$\{ O; \vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_n} \}$下的坐標分別是 $$\begin{pmatrix} \vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n} \end{pmatrix} = (\vec{e_1}, \vec{e_2}, \cdots, \vec{e_n}) \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$$ 於是定義混合積 $$(\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots, \vec{a_n}) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$$ 為了說明它是幾何量，還需要證明對任意的其他的$n$維單位正交標架$[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \cdots, \vec{d_n}]$，假設這兩個標架之間的過渡矩陣為$T$（是正交矩陣），成立： $$(T\vec{a_1}, T\vec{a_2}, \cdots, T\vec{a_n}) = |T| (\vec{a_1}, \vec{a_2}, \cdots \vec{a_n}).$$ 特別地當這兩個標架定向一致時有$|T| = 1.$高維空間中我們是先定義混合積再定義向量積的。

這種定義實際上是$n$維向量的最高重外積，因此是一個數值（即行列式），高維空間中的向量積是$n$維向量的$n-1$重外積，可以同構為一個向量。

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