在解析几何中,向量的混合积是一个三元代数运算,它是解决有关体积的度量问题的工具。高维空间中混合积表征了
维空间中平行
面体的定向
维体积,它可以直接由行列式定义,由于混合积是几何不变量,借助行列式给出它的定义时需要验证和坐标系(至少同定向的坐标系)的选取无关。
定义
在几何空间中,设三个向量
,称
为这三个向量的混合积。该式运算时应始终先算外积再算内积,它的结果是一个实数,其几何意义是以
为三个邻边的平行六面体的定向体积。
可以证明混合积有以下两个性质:


因此,
有时也记作
,这种表示是一个有序向量组。
坐标表示
设有仿射标架
,且向量
,
,
,它们的混合积的值是

如果这个仿射标架是右手直角标架
,有
,那么

上式可用作混合积的行列式定义,只是为了它是几何量需要证明:对任意的其他的三维单位正交标架
![{\displaystyle [O;{\vec {d_{1}}},{\vec {d_{2}}},{\vec {d_{3}}}]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/25acd27fd4389912b36be19fd34e24879e251c6a)
,假设这两个标架之间的过渡矩阵为

(是
正交矩阵),成立:

这件事情是容易证明的。且容易将它推广到高维空间中。
关系式
混合积有如下关系式成立:




向量共面
设一几何空间中有三个向量
,
,
,它们共面当且仅当
进而可得一仿射标架中四个点
共面的充要条件是

高维推广
高维空间的混合积是用行列式定义的,假设
(也可以是其它数域)上有
个
维向量,它在一个单位正交标架
下的坐标分别是

于是定义混合积

为了说明它是几何量,还需要证明对任意的其他的

维单位正交标架
![{\displaystyle [O;{\vec {d_{1}}},{\vec {d_{2}}},\cdots ,{\vec {d_{n}}}]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/064dac824dda54303517a2f030dea1ea0b2296a5)
,假设这两个标架之间的过渡矩阵为

(是
正交矩阵),成立:

特别地当这两个标架定向一致时有

高维空间中我们是先定义混合积再定义
向量积的。
这种定义实际上是
维向量的最高重外积,因此是一个数值(即行列式),高维空间中的向量积是
维向量的
重外积,可以同构为一个向量。