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欢迎来到解析几何三维空间几何部分!
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识,希望你能收获更多!

解析几何中,向量的混合积是一个三元代数运算,它是解决有关体积的度量问题的工具。高维空间中混合积表征了维空间中平行面体的定向维体积,它可以直接由行列式定义,由于混合积是几何不变量,借助行列式给出它的定义时需要验证和坐标系(至少同定向的坐标系)的选取无关。

定义

在几何空间中,设三个向量,称为这三个向量的混合积。该式运算时应始终先算外积再算内积,它的结果是一个实数,其几何意义是以为三个邻边的平行六面体的定向体积。

可以证明混合积有以下两个性质:

因此,有时也记作,这种表示是一个有序向量组。

坐标表示

设有仿射标架,且向量,它们的混合积的值是

如果这个仿射标架是右手直角标架,有,那么

上式可用作混合积的行列式定义,只是为了它是几何量需要证明:对任意的其他的三维单位正交标架,假设这两个标架之间的过渡矩阵为(是正交矩阵),成立:
这件事情是容易证明的。且容易将它推广到高维空间中。

关系式

混合积有如下关系式成立:

向量共面

设一几何空间中有三个向量,它们共面当且仅当

进而可得一仿射标架中四个点共面的充要条件是

高维推广

高维空间的混合积是用行列式定义的,假设(也可以是其它数域)上有维向量,它在一个单位正交标架下的坐标分别是

于是定义混合积
为了说明它是几何量,还需要证明对任意的其他的维单位正交标架,假设这两个标架之间的过渡矩阵为(是正交矩阵),成立:
特别地当这两个标架定向一致时有高维空间中我们是先定义混合积再定义向量积的。

这种定义实际上是维向量的最高重外积,因此是一个数值(即行列式),高维空间中的向量积维向量的外积,可以同构为一个向量。

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