向量的内积

欢迎来到解析几何的三维空间几何部分！
在这里你将了解到有关空间曲面曲线以及空间变换的相关知识，希望你能收获更多！

在解析几何中，向量的内积是一个十分重要的二元代数运算，由于三维空间几何的直观性以及明显的几何意义，向量内积可以直接由向量的长度和夹角定义，这是和线性代数中的内积的不同之处，当然解析几何的内积是线性空间的内积的一个特例（实例化模型）。

定义

让我们以物理学中广为人知的“功”的概念引入： $W=|{\vec {F}}||{\vec {s}}|\cos {\theta }$ 由此可以看出机械功 $W$ 仅由外力 $F$ 与位移 $s$ 这两个矢量决定. 相似的，数学中也常常需要研究两个自由向量之间的关系，于是模仿功做出定义：

设有向量 $\vec{a}, \vec{b}$ ，称 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 为 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的内积，或数量积、标量积，如果 $\vec{a} \cdot \vec{b} := |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \langle \vec{a}, \vec{b} \rangle$

解析几何的向量内积，是一个 $\R^3 \times \R^3 \to \R$ 的一个二元函数. 这也可以印证功是标量.

$\vec{a} \cdot \vec{a}$ 也可简写为 $\vec{a}^2$ 。

性质

交换性： $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a};$
线性性之一： $\forall \lambda \in \R, (\lambda \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (\lambda \vec{b}) = \lambda(\vec{a} \cdot \vec{b});$
线性性之二： $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c};$
正定性： $\vec{a} \cdot \vec{a} \geqslant 0$ ，当且仅当 $\vec{a} = \vec{0}$ 时取到等号。

坐标表示

如果选择一个仿射标架 $[O; \vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}]$ ，称如下数量矩阵为该标架的 Gram 矩阵 ${\displaystyle G(\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}) = \begin{pmatrix} \vec{d_1} \cdot \vec{d_1} & \vec{d_1} \cdot \vec{d_2} & \vec{d_1} \cdot \vec{d_3} \\ \vec{d_2} \cdot \vec{d_1} & \vec{d_2} \cdot \vec{d_2} & \vec{d_2} \cdot \vec{d_3} \\ \vec{d_3} \cdot \vec{d_1} & \vec{d_3} \cdot \vec{d_2} & \vec{d_3} \cdot \vec{d_3} \\ \end{pmatrix}}$ 这个矩阵是由仿射标架决定的，且是对称矩阵，设 $\vec{a}, \vec{b}$ 的仿射坐标分别为 $(a_1, a_2, a_3)^\text{T}$ 以及 $(b_1, b_2, b_3)^\text{T}$ ，可以证明它们的内积是 $\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1, a_2, a_3) G(\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}) \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 a_j b_j \vec{d_i} \cdot \vec{d_j}.$ 特别地，当选取的仿射标架是直角标架时， $G(\vec{d_1}, \vec{d_2}, \vec{d_3}) = E_3$ 是单位矩阵， $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2.$

计算

若已知在直角标架中向量 $\vec{a}$ 的坐标为 $(a_1, a_2, a_3)^\text{T}$ ，其模长计算公式为 $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.$ 向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $\langle \vec{a}, \vec{b} \rangle = \arccos \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|a| |b|}$ 。借由直角标架和内积计算向量的模长以及夹角是十分常见的手段。

借由向量的模长可以导出两点间距离公式，设直角坐标上的两点 $A(a_1, a_2, a_3), B(b_1, b_2, b_3)$ ，那么 $|\overline{AB}| = \sqrt{(a_1 - b_1)^2 + (a_2 - b_2)^2 + (a_3 - b_3)^2}.$

需要注意的是，虽然内积的定义不被直角标架的条件所限制，但以上公式却只在直角标架中成立，而对于一般的仿射标架，内积需要依靠 Gram 矩阵才能运算，但其往往会很复杂。下述射影的概念也是建立在直角标架的基础上的。

射影

设有直角标架 $[O; \vec{e_1}, \vec{e_2}, \vec{e_3}]$ ，一向量 $\vec{a} = x \vec{e_1} + y \vec{e_2} + z \vec{e_3} = \vec{a_1} + \vec{a_3}$ ，其中 $\vec{a_1} = x \vec{e_1} + y \vec{e_2}, \vec{a_3} = z \vec{e_3}.$ 这种分解是对几何空间 $\mathbb R^{3}$ 的一个直和分解： $\R^3 = G[\vec{e_1}, \vec{e_2}] \oplus G[\vec{e_3}]$ ，它是唯一的。