像直觀幾何那樣,我們也在 Euclid 空間中引入向量的距離等概念。
正射影[]
在一個
維 Euclid 空間
中,
,則有
。因此對於任意的
,
都存在唯一的分解
。我們稱
為
在子空間
上的正射影(orthogonal projection)。
兩向量的距離[]
在一個
維 Euclid 空間
中,
,像直觀幾何那樣,我們把
稱為
與
的距離,記作
。它有如下性質
。
,當且僅當
時取等號。
。
向量到子空間的距離[]
從直觀平面(空間)中受到啟發:一定點到直線(平面)的各點的距離中,將這些距離的最小值稱為該定點到這個直線(平面)的距離,我們也將這樣的概念引入 Euclid 空間中。所以我們首先要找到這樣的距離(一個向量到某個子空間的所有向量的距離)的最小值,然後再將這個最小值定義為向量到子空間的距離。
可以證明,在一個
維 Euclid 空間
中,
,
,設
為
在
上的正射影,則有

因此,我們就稱

為向量

到子空間

的
距離(distance)。
Gram 矩陣[]
在 Euclid 空間
中,設
,稱
階方陣
為對應於
的 Gram 矩陣,記作
,顯然,如果
線性無關,那麼就
定義了一個線性空間
上的內積對應的矩陣,進而是正定的。實際上可以證明,
線性無關當且僅當
。
Gram 矩陣給了我們一種求解 Euclid 空間
上一個向量
到某個子空間
距離
的方法,我們不加證明地給出結論:
設
滿足
,那麼
不必要求
線性無關,當它們線性相關時,上面的和式有多種表述,但結果是相同的。
上下節[]