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像直觀幾何那樣,我們也在 Euclid 空間中引入向量的距離等概念。

正射影[]

在一個維 Euclid 空間中,,則有。因此對於任意的都存在唯一的分解。我們稱在子空間上的正射影(orthogonal projection)。

兩向量的距離[]

在一個維 Euclid 空間中,,像直觀幾何那樣,我們把稱為的距離,記作。它有如下性質

  1. ,當且僅當時取等號。

向量到子空間的距離[]

從直觀平面(空間)中受到啟發:一定點到直線(平面)的各點的距離中,將這些距離的最小值稱為該定點到這個直線(平面)的距離,我們也將這樣的概念引入 Euclid 空間中。所以我們首先要找到這樣的距離(一個向量到某個子空間的所有向量的距離)的最小值,然後再將這個最小值定義為向量到子空間的距離。

可以證明,在一個維 Euclid 空間中,,設上的正射影,則有

因此,我們就稱為向量到子空間距離(distance)。

Gram 矩陣[]

在 Euclid 空間中,設,稱階方陣為對應於 Gram 矩陣,記作,顯然,如果線性無關,那麼就定義了一個線性空間上的內積對應的矩陣,進而是正定的。實際上可以證明,線性無關當且僅當

Gram 矩陣給了我們一種求解 Euclid 空間上一個向量到某個子空間距離的方法,我們不加證明地給出結論:

滿足,那麼

不必要求線性無關,當它們線性相關時,上面的和式有多種表述,但結果是相同的。

上下節[]

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