像直观几何那样,我们也在 Euclid 空间中引入向量的距离等概念。
正射影[]
在一个
维 Euclid 空间
中,
,则有
。因此对于任意的
,
都存在唯一的分解
。我们称
为
在子空间
上的正射影(orthogonal projection)。
两向量的距离[]
在一个
维 Euclid 空间
中,
,像直观几何那样,我们把
称为
与
的距离,记作
。它有如下性质
。
,当且仅当
时取等号。
。
向量到子空间的距离[]
从直观平面(空间)中受到启发:一定点到直线(平面)的各点的距离中,将这些距离的最小值称为该定点到这个直线(平面)的距离,我们也将这样的概念引入 Euclid 空间中。所以我们首先要找到这样的距离(一个向量到某个子空间的所有向量的距离)的最小值,然后再将这个最小值定义为向量到子空间的距离。
可以证明,在一个
维 Euclid 空间
中,
,
,设
为
在
上的正射影,则有

因此,我们就称

为向量

到子空间

的
距离(distance)。
Gram 矩阵[]
在 Euclid 空间
中,设
,称
阶方阵
为对应于
的 Gram 矩阵,记作
,显然,如果
线性无关,那么就
定义了一个线性空间
上的内积对应的矩阵,进而是正定的。实际上可以证明,
线性无关当且仅当
。
Gram 矩阵给了我们一种求解 Euclid 空间
上一个向量
到某个子空间
距离
的方法,我们不加证明地给出结论:
设
满足
,那么
不必要求
线性无关,当它们线性相关时,上面的和式有多种表述,但结果是相同的。
上下节[]