向量到子空间的距离

像直观几何那样，我们也在 Euclid 空间中引入向量的距离等概念。

正射影

在一个$n$维 Euclid 空间$V$中，$V_1 \leqslant V$，则有$V = V_1 \oplus V_1^\perp$。因此对于任意的$\alpha \in V$，$\alpha$都存在唯一的分解$\alpha = \alpha_1 + \alpha_2, \alpha_1 \in V_1, \alpha_2 \in V_1^\perp$。我们称$\alpha_1$为$\alpha$在子空间$V_1$上的正射影（orthogonal projection）。

两向量的距离

在一个$n$维 Euclid 空间$V$中，$\alpha, \beta \in V$，像直观几何那样，我们把$|\alpha - \beta|$称为$\alpha$与$\beta$的距离，记作$d(\alpha, \beta)$。它有如下性质

1. $\alpha, \beta \in V,~d(\alpha, \beta) = d(\beta, \alpha)$。
2. $\alpha, \beta \in V,~d(\alpha, \beta) \geqslant 0$，当且仅当$\alpha = \beta$时取等号。
3. $\alpha, \beta, \gamma \in V,~d(\alpha, \beta) + d(\beta, \gamma) \geqslant d(\alpha, \gamma)$。

向量到子空间的距离

从直观平面（空间）中受到启发：一定点到直线（平面）的各点的距离中，将这些距离的最小值称为该定点到这个直线（平面）的距离，我们也将这样的概念引入 Euclid 空间中。所以我们首先要找到这样的距离（一个向量到某个子空间的所有向量的距离）的最小值，然后再将这个最小值定义为向量到子空间的距离。

可以证明，在一个$n$维 Euclid 空间$V$中，$V_1 \leqslant V$，$\alpha \in V$，设$\alpha_1$为$\alpha$在$V_1$上的正射影，则有

$$\forall \beta \in V_1, \quad d(\alpha, \alpha_1) \leqslant d(\alpha, \beta)$$

因此，我们就称$d(\alpha, \alpha_1)$为向量$\alpha$到子空间$V_1$的距离（distance）。

Gram 矩阵

在 Euclid 空间$V$中，设$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m \in V$，称$m$阶方阵$((\alpha_i, \alpha_j))_{m \times m}$为对应于$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$的 Gram 矩阵，记作$G(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)$，显然，如果$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$线性无关，那么就$G(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)$定义了一个线性空间$G[\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m]$上的内积对应的矩阵，进而是正定的。实际上可以证明，$(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)$线性无关当且仅当$|G(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m)| \ne 0$。

Gram 矩阵给了我们一种求解 Euclid 空间$V$上一个向量$\alpha \in V$到某个子空间$V_1 = G[\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m]$距离$d(\alpha, V_1)$的方法，我们不加证明地给出结论：

设$X = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{pmatrix} \in \R^m$满足$G(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m) X = \begin{pmatrix} (\alpha, \alpha_1) \\ (\alpha, \alpha_2) \\ \vdots \\ (\alpha, \alpha_m) \end{pmatrix}$，那么$d(\alpha, V_1) = \sum_{k=1}^m x_k \alpha_k.$

不必要求$\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$线性无关，当它们线性相关时，上面的和式有多种表述，但结果是相同的。

上下节

• 上一节：Euclid 空间
• 下一节：Gram-Schmidt 正交化

  参考资料

  1. 郭聿琦, 岑嘉评, 王正攀, 《高等代数教程》, 科学出版社, 北京, 2014-07, ISBN 978-7-0304-0417-6.