中文数学 Wiki
Advertisement

向量值测度(vector-valued measure)是数值测度在值域为一般的赋范线性空间中的推广,它在线性算子的谱分解中是一个重要工具。

定义[]

假设Banach 空间是全有限的测度空间映射满足强可列可加性:

对任意一列互不相交的可测集成立
这里右端的级数表示范数收敛之极限

我们就称是向量值测度。

向量值测度的一个重要例子是 Bochner 可积的向量值函数之积分,即假设,定义

是有界变差测度,且它的全变差是同时它还是绝对连续的。

基本性质[]

假设是向量值测度,它有如下基本性质:

  1. 上述强可列可加性等价于弱可列可加性:即上式右端的级数表示弱收敛之极限
  2. 规范性:
  3. 有限可加性:对任意一列互不相交的可测集成立
  4. 可减性:当
  5. 共鸣性质

变差[]

像数值测度有全变差那样,向量值测度也有(全)变差。同时数值测度有上下变差,向量值测度也有对应的半变差。

全变差[]

假设是向量值测度,,记分解为中有限个互不相交的集合的分割为,那么定义

上的(全)变差。如果,我们就称是有界变差测度。

如果是有界变差测度,那么上的数值测度。

半变差[]

假设是向量值测度,,定义

的半变差。如果,我们就称是半有界变差测度。

我们也希望用全变差中分割的方法描述半变差,这就得到半变差的下述等价定义:记分解为中有限个互不相交的集合的分割为,那么

半变差不是测度,但是它具有次可列可加性:

对任意可测集列成立
这里右端的级数表示范数收敛之极限

绝对连续性[]

向量值测度关于全有限测度是绝对连续的,是指

这个定义等价于使得当时成立

此外,如果是有界变差的,那么的绝对连续性等价。

Radon-Nikodym 性质[]

数值测度论中最基本的定理是 Radon-Nikodym 定理,我们自然希望把它引入到向量值测度中去:

给定 Banach 空间和全有限的测度空间,若对任意一个有界变差且对绝对连续的向量值测度都存在 Bochner 可积的函数使得

就称关于具有 Radon-Nikodym 性质。如果关于一切全有限的测度空间都具有 Radon-Nikodym 性质,就说具有 Radon-Nikodym 性质。

不巧的是并不是任意 Banach 空间都具有这样的性质,但是自反的 Banach 空间(特别地,Hilbert 空间)具有上述性质。具有有界完备的 Schauder 基的 Banach 空间也有上述性质。

这个性质最初由 Bochner 研究,他发现不具有上述性质,后来多名数学家对这个问题都进行了研究,在当下该问题依然受欢迎。

Riesz 表示性质[]

泛函分析的基石中除了上述 Radon-Nikodym 定理外还有 Riesz 表示定理,这个性质也并不是对任意的向量值测度都可推广的。

假设的连续线性算子,如果存在使得

我们就称具有 Riesz 表示性质,也说是可表(示)的。

Radon-Nikodym 性质和某一族算子的可表性等价,这是说:

Banach 空间关于全有限测度空间具有 Radon-Nikodym 性质当且仅当任意的连续线性算子都是可表的。

参考资料

  1. 夏道行, 《泛函分析第二教程》, 高等教育出版社, 北京, 2009-01, ISBN 978-7-0402-4750-3.
Advertisement