向量值测度(vector-valued measure)是数值测度在值域为一般的赋范线性空间中的推广,它在线性算子的谱分解中是一个重要工具。
定义[]
假设
是 Banach 空间,
是全有限的测度空间,映射
满足强可列可加性:
- 对任意一列互不相交的可测集
成立
这里右端的级数表示
按范数收敛之极限。
我们就称
是向量值测度。
向量值测度的一个重要例子是 Bochner 可积的向量值函数之积分,即假设
,定义

则

是有界变差测度,且它的全变差是

同时它还是绝对连续的。
基本性质[]
假设
是向量值测度,它有如下基本性质:
- 上述强可列可加性等价于弱可列可加性:即上式右端的级数表示
弱收敛之极限。
- 规范性:

- 有限可加性:对任意一列互不相交的可测集
成立
- 可减性:当
时
- 共鸣性质:

变差[]
像数值测度有全变差那样,向量值测度也有(全)变差。同时数值测度有上下变差,向量值测度也有对应的半变差。
全变差[]
假设
是向量值测度,
,记
分解为
中有限个互不相交的集合的分割为
,那么定义

为

在

上的(全)变差。如果

,我们就称

是有界变差测度。
如果
是有界变差测度,那么
是
上的数值测度。
半变差[]
假设
是向量值测度,
,定义

为

的半变差。如果

,我们就称

是半有界变差测度。
我们也希望用全变差中分割的方法描述半变差,这就得到半变差的下述等价定义:记
分解为
中有限个互不相交的集合的分割为
,那么

半变差不是测度,但是它具有次可列可加性:
- 对任意可测集列
成立
这里右端的级数表示
按范数收敛之极限。
绝对连续性[]
向量值测度
关于全有限测度
是绝对连续的,是指

这个定义等价于

使得当

时成立
此外,如果
是有界变差的,那么
和
的绝对连续性等价。
Radon-Nikodym 性质[]
数值测度论中最基本的定理是 Radon-Nikodym 定理,我们自然希望把它引入到向量值测度中去:
给定 Banach 空间
和全有限的测度空间
,若对任意一个有界变差且对
绝对连续的向量值测度
都存在 Bochner 可积的函数
使得

就称

关于

具有 Radon-Nikodym 性质。如果

关于一切全有限的测度空间都具有 Radon-Nikodym 性质,就说

具有 Radon-Nikodym 性质。
不巧的是并不是任意 Banach 空间都具有这样的性质,但是自反的 Banach 空间(特别地,Hilbert 空间)具有上述性质。具有有界完备的 Schauder 基的 Banach 空间也有上述性质。
这个性质最初由 Bochner 研究,他发现
不具有上述性质,后来多名数学家对这个问题都进行了研究,在当下该问题依然受欢迎。
Riesz 表示性质[]
泛函分析的基石中除了上述 Radon-Nikodym 定理外还有 Riesz 表示定理,这个性质也并不是对任意的向量值测度都可推广的。
假设
是
的连续线性算子,如果存在
使得

我们就称

具有 Riesz 表示性质,也说

是可表(示)的。
Radon-Nikodym 性质和某一族算子的可表性等价,这是说:
- Banach 空间
关于全有限测度空间
具有 Radon-Nikodym 性质当且仅当任意
的连续线性算子都是可表的。
参考资料