向量值函數

在分析中，向量值函數（vector-valued function）是數量函數的推廣，一般有限維的向量值函數定義在 Euclid 空間中且函數值為向量，當然也可以將其推廣到一般的 Banach 空間中去，其自變量為一維空間的特殊情形可見抽象函數。

概念

有限維情形

設$D \in \R^n$，一映射$\boldsymbol{f}$如下定義

$$\begin{align} \boldsymbol{f}: D & \to \R^m \\ \boldsymbol{x} & \mapsto \boldsymbol{y = f(x)} \end{align}$$

我們就稱$\boldsymbol{f}$是一個取值有限維空間的向量值函數。如果選擇了兩個坐標系，那麼向量可以分別表示為$\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^\text{T}, \boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_m)^\text{T}.$這樣函數$\boldsymbol{f(x)}$就可以寫成分量形式

$$\boldsymbol{f(x)} = (f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n), \cdots, f_m(x_1, x_2, \cdots, x_n))^\text{T}$$

這啟示我們對向量值函數的研究，可以通過研究該函數的各個分量進行。

由於給定一坐標系後，點與向量一一對應，因此我們在稱呼自變量與因變量時不區分點和向量，涉及到函數的表示時用向量寫法，鄰域等分析概念則用點。

1. 當$m = 1$時，$\boldsymbol{f}$退化為多元函數；
2. 當$n=1$時，$\boldsymbol{f}$實際上可以代表$\R^m$中的一條參數曲線；
3. 當$n = 2, m = 3$時，$\boldsymbol{f}$實際上可以代表三維空間中的一個曲面；
4. 當$n = m = 2$時可以代表平面中的一個坐標變換，也可以是複變函數；
5. 當$n = m = 3$時可以代表空間中的一個坐標變換。

一般線性空間情形

上述定義推廣為無窮維（或一般的）線性空間，會得到如下定義：

設有線性空間$X, Y$，集合$D \subset X$如下定義的映射$\boldsymbol{f}$

$$\begin{align} \boldsymbol{f}: D & \to Y \\ \boldsymbol{x} & \mapsto \boldsymbol{y = f(x)} \end{align}$$

我們就稱$\boldsymbol{f}$是一個向量值映射。我們特別關心的是$X = \R$的情形，參見抽象函數。注意的是從有限維推廣到無窮維會產生本質上的不同，尤其是無窮維中可以有各種各樣的拓撲，這決定了無窮維的向量值函數會定義不同的連續性。

線性函數

假設向量值函數$\boldsymbol{f}: D \subset X \to Y$，線性空間$X$的基礎域是$\mathbb{K}$，如果對任意的$\alpha, \beta \in \mathbb{K}, x_1, x_2 \in D \subset X$，下式均成立

$$\boldsymbol{f}(\alpha \boldsymbol{x_1} + \beta \boldsymbol{x_2}) = \alpha \boldsymbol{f(x_1)} + \beta \boldsymbol{f(x_2)}.$$

我們就稱向量值函數$\boldsymbol{f}$是線性函數，或從$\R^n$到$\R^m$的線性映射。線性函數的定義域依照上述要求必須是$X$的線性子空間。

由線性代數相關知識可知，有限維的線性映射可以使用一矩陣$\boldsymbol{A} \in \R^{n \times m}$來表示，即 $\boldsymbol{f(x)} = \boldsymbol{Ax}.$一般的線性映射稱為線性算子。

連續性

我們先給出定義域是一維空間的向量值函數連續性的定義：假設有域$\mathbb{K}$及其上一鄰域$U$，$X$是賦范線性空間，$f: \mathbb{K} \to X$是向量值函數，$x_0 \in U.$

1. 若$\lim_{x \to x_0} \| f(x) - f(x_0) \| = 0$，我們就稱$f$在$x_0$處強連續。
2. 若$\forall f^* \in X^*, \lim_{x \to x_0} f^*(f(x)) = f^*(f(x_0))$，我們就稱$f$在$x_0$處弱連續。

這兩種連續性是由不同的拓撲（範數拓撲和弱拓撲）決定的，範數拓撲比弱拓撲更強。

如果$f$在$U$內每一點都是強（或弱）連續的，我們就稱$f$在$U$上強（或弱）連續。有界閉集上的強連續函數是一致強連續的。如果$f$在$U$上弱連續，那麼$\{ \| f(x): x \in U \| \}$是有界集。

當$X$是有限維線性空間時，上述兩種定義等價，無窮維空間可能不等價。

當定義域是一般的賦范線性空間時，向量值函數的連續性不易描述，但是如果向量值函數是線性的，那麼會有三種連續性，詳見弱收斂#算子弱收斂性。

微分

我們可以像定義數量函數的微分那樣引入向量值函數的微分：對於有限維的向量值函數，設$\boldsymbol{f}$是在點$\boldsymbol{x_0}$的附近有定義的$\R^n \to \R^m$向量值函數，若存在線性映射$\boldsymbol{A} \in \R^{n \times m}$使得$\boldsymbol{x \to x_0}$時成立

$$\boldsymbol{f(x)} = \boldsymbol{f(x_0) + A(x - x_0)} + o(||\boldsymbol{x-x_0}||)$$

我們就說函數$\boldsymbol{f}$在點$\boldsymbol{x_0}$處可微，這等價於該函數的每個分量函數都在點$\boldsymbol{x_0}$處可微。參見 向量值函數的微分一節。

對於一般情形，我們還是僅討論定義域是一維空間的向量值函數$f: U \subset \mathbb{K} \to X$可微性的定義，假設$x_0 \in U$：

1. 如果存在$g(x_0): U \to X$使得$\lim_{x \to x_0} \left\| \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - g(x_0) \right\| = 0$，我們就稱$f$在$x = x_0$處強可導，$g(x_0)$稱為$f$在$x_0$處的強導數。
2. 如果存在$g(x_0): U \to X$使得$\forall f^* \in X^*, \lim_{x \to x_0} f^* \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) = f^*(g(x_0))$，我們就稱$f$在$x = x_0$處弱可導，$g(x_0)$稱為$f$在$x_0$處的弱導數。

強可導一定弱可導，在有限維情形二者等價。弱可導一定強連續。弱導數為零當且僅當原函數為常數函數。

一般線性空間之間的向量值函數的可微性將會歸結於抽象函數的性質。

積分

向量值函數的積分主要有 Riemann 積分，Bochner 積分和Pettis 積分。Riemann 積分是數學分析中定積分的自然推廣，後兩者則是 Lebesgue 積分在強弱拓撲下的推廣。

參考資料

1. 歐陽光中, 朱學炎, 金福臨, 陳傳璋, 《數學分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.