向量值函数的微分

向量值函数的偏导数以及微分是用分析方法研究Euclid 空间的映射的性质的重要内容，其中雅可比矩阵更是应用广泛。

微分

我们可以像定义数量函数的微分那样引入向量值函数的微分：设$\boldsymbol{f(x)}$是在点$\boldsymbol{x_0}$的附近有定义的$\R^n \to \R^m$向量值函数，若存在线性映射$\boldsymbol{A} \in \R^{m \times n}$使得$\boldsymbol{x} \to \boldsymbol{x_0}$时成立

$$\boldsymbol{f(x)} = \boldsymbol{f(x_0) + A(x - x_0)} + o(||\boldsymbol{x-x_0}||)$$

我们就说函数$\boldsymbol{f(x)}$在点$\boldsymbol{x_0}$处可微，上式也即下述极限存在

$$\lim_{\boldsymbol{x \to x_0}} \dfrac{\boldsymbol{f(x) - f(x_0)}}{||x - x_0||} = \boldsymbol{0}.$$

在给定坐标标架之后，上述定义等价于该函数的每个分量函数都在点$\boldsymbol{x_0}$处可微。

我们记$\boldsymbol{f(x)}$在点$\boldsymbol{x_0}$处的微分是

$$\mathrm{d}\boldsymbol{f(x)} = (\mathrm{d}f_1(\boldsymbol{x}), \mathrm{d}f_2(\boldsymbol{x}), \cdots, \mathrm{d}f_m(\boldsymbol{x}))^\text{T}.$$

我们也称微分为导映射，这是因为上式和下式是一致的

$$\mathrm{d}\boldsymbol{f(x)} = \boldsymbol{Ae}.$$

这里将微分算子的基向量$\boldsymbol{e} = (\mathrm{d}x_1, \mathrm{d}x_2, \cdots, \mathrm{d}x_n)^\text{T}$视作自然基底，这样，微分就有了明确的几何意义，它也成为了一个映射。

Jacobi 矩阵

由多元函数的偏导数，我们有

$$\begin{align} \mathrm{d}f_i & = \dfrac{\partial f_i}{\partial x_1} \mathrm{d}x_1 + \dfrac{\partial f_i}{\partial x_2} \mathrm{d}x_2 + \cdots + \dfrac{\partial f_i}{\partial x_n} \mathrm{d}x_n \\ & = \left( \dfrac{\partial f_i}{\partial x_1}, \dfrac{\partial f_i}{\partial x_2}, \cdots, \dfrac{\partial f_i}{\partial x_n} \right) \cdot \begin{pmatrix} \mathrm{d}x_1 \\ \mathrm{d}x_2 \\ \vdots \\ \mathrm{d}x_n \end{pmatrix}. \end{align}$$

于是

$$\mathrm{d}\boldsymbol{f(x)} = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \dfrac{\partial f_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_2}{\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \mathrm{d}x_1 \\ \mathrm{d}x_2 \\ \vdots \\ \mathrm{d}x_n \end{pmatrix}.$$

我们称矩阵$D\boldsymbol{f}(x) = \dfrac{D(\boldsymbol{f})}{D(\boldsymbol{x})} = \dfrac{D(f_1, f_2, \cdots, f_m)}{D(x_1, x_2, \cdots, x_n)} = \left( \dfrac{\partial f_i}{\partial x_j} \right)_{m \times n}$为函数$\boldsymbol{f(x)}$的 Jacobi 矩阵（雅可比矩阵）。 对线性映射$\boldsymbol{f(x) = Ax}$来说，Jacobi 矩阵就是对应的线性变换矩阵$\boldsymbol{A}$。

方向导数

我们可以像定义数量函数的方向导数那样来定义向量值函数的方向导数，即

$$\dfrac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{l}}(\boldsymbol{x_0}) = \lim_{t \to 0} \dfrac{\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x_0} + t \boldsymbol{l}) - \boldsymbol{f(x_0)}}{t}$$

并有

$$\dfrac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{l}}(\boldsymbol{x_0}) = D\boldsymbol{f(x_0)} \cdot \boldsymbol{l}.$$

此外，除了上式，方向导数的计算还可以直接用导映射去作用向量$\boldsymbol{l}$得到。

链式法则

复合函数求导有对应的链式法则，这一点对于向量值函数的微分也是成立的。

设

$$\begin{align} \boldsymbol{f}: D ~ (\subseteq \R^m) & \to E ~ (\subseteq \R^n) \\ \boldsymbol{x} & \mapsto \boldsymbol{y = f(x)}, \\ \boldsymbol{g}: E ~ (\subseteq \R^n) & \to F ~ (\subseteq \R^k) \\ \boldsymbol{y} & \mapsto \boldsymbol{z = g(y)}, \\ \end{align}$$

那么有如下复合函数链式法则

$$D\boldsymbol{g(f(x))} = D\boldsymbol{g(f(x))} \cdot D\boldsymbol{f(x)}.$$

若记$\boldsymbol{h(x) = g(f(x))}$，上式也即

$$\dfrac{D(\boldsymbol{z})}{D(\boldsymbol{x})} = \dfrac{D(\boldsymbol{z})}{D(\boldsymbol{y})} \cdot \dfrac{D(\boldsymbol{y})}{D(\boldsymbol{x})}.$$

上述是两个雅可比矩阵相乘。

隐函数理论

参见隐函数。

微分中值不等式

在向量值函数的场合，微分中值定理不再成立，变成了微分中值不等式。

设$D \subseteq \R^n$是凸开集，$\boldsymbol{f(x)}$是$D \to \R^m$的可微函数，则对任意两点$\boldsymbol{x_1,x_2} \in D$，以及每一常向量$\boldsymbol{\alpha} \in \R^m$，都存在$\theta \in (0, 1)$，使得$\boldsymbol{c} = \boldsymbol{x_1} + \theta (\boldsymbol{x_2-x_1})$，且

$$\boldsymbol{\alpha}^\text{T} [\boldsymbol{f(x_2)} - \boldsymbol{f(x_1)}] = \boldsymbol{\alpha}^\text{T} \boldsymbol{f'(c)} (\boldsymbol{x_2-x_1}).$$

进而有如下微分不等式

$$|| \boldsymbol{f(x_2)} - \boldsymbol{f(x_1)} || \leqslant || \boldsymbol{f'(c)} || \cdot || \boldsymbol{x_2-x_1} ||.$$

这也预告了复变函数（对应于$n = m = 2$的向量值函数）中，中值定理不再成立。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.