向量值函数

在分析中，向量值函数（vector-valued function）是数量函数的推广，一般有限维的向量值函数定义在 Euclid 空间中且函数值为向量，当然也可以将其推广到一般的 Banach 空间中去，其自变量为一维空间的特殊情形可见抽象函数。

概念

有限维情形

设$D \in \R^n$，一映射$\boldsymbol{f}$如下定义

$$\begin{align} \boldsymbol{f}: D & \to \R^m \\ \boldsymbol{x} & \mapsto \boldsymbol{y = f(x)} \end{align}$$

我们就称$\boldsymbol{f}$是一个取值有限维空间的向量值函数。如果选择了两个坐标系，那么向量可以分别表示为$\boldsymbol{x} = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^\text{T}, \boldsymbol{y} = (y_1, y_2, \cdots, y_m)^\text{T}.$这样函数$\boldsymbol{f(x)}$就可以写成分量形式

$$\boldsymbol{f(x)} = (f_1(x_1, x_2, \cdots, x_n), \cdots, f_m(x_1, x_2, \cdots, x_n))^\text{T}$$

这启示我们对向量值函数的研究，可以通过研究该函数的各个分量进行。

由于给定一坐标系后，点与向量一一对应，因此我们在称呼自变量与因变量时不区分点和向量，涉及到函数的表示时用向量写法，邻域等分析概念则用点。

1. 当$m = 1$时，$\boldsymbol{f}$退化为多元函数；
2. 当$n=1$时，$\boldsymbol{f}$实际上可以代表$\R^m$中的一条参数曲线；
3. 当$n = 2, m = 3$时，$\boldsymbol{f}$实际上可以代表三维空间中的一个曲面；
4. 当$n = m = 2$时可以代表平面中的一个坐标变换，也可以是复变函数；
5. 当$n = m = 3$时可以代表空间中的一个坐标变换。

一般线性空间情形

上述定义推广为无穷维（或一般的）线性空间，会得到如下定义：

设有线性空间$X, Y$，集合$D \subset X$如下定义的映射$\boldsymbol{f}$

$$\begin{align} \boldsymbol{f}: D & \to Y \\ \boldsymbol{x} & \mapsto \boldsymbol{y = f(x)} \end{align}$$

我们就称$\boldsymbol{f}$是一个向量值映射。我们特别关心的是$X = \R$的情形，参见抽象函数。注意的是从有限维推广到无穷维会产生本质上的不同，尤其是无穷维中可以有各种各样的拓扑，这决定了无穷维的向量值函数会定义不同的连续性。

线性函数

假设向量值函数$\boldsymbol{f}: D \subset X \to Y$，线性空间$X$的基础域是$\mathbb{K}$，如果对任意的$\alpha, \beta \in \mathbb{K}, x_1, x_2 \in D \subset X$，下式均成立

$$\boldsymbol{f}(\alpha \boldsymbol{x_1} + \beta \boldsymbol{x_2}) = \alpha \boldsymbol{f(x_1)} + \beta \boldsymbol{f(x_2)}.$$

我们就称向量值函数$\boldsymbol{f}$是线性函数，或从$\R^n$到$\R^m$的线性映射。线性函数的定义域依照上述要求必须是$X$的线性子空间。

由线性代数相关知识可知，有限维的线性映射可以使用一矩阵$\boldsymbol{A} \in \R^{n \times m}$来表示，即 $\boldsymbol{f(x)} = \boldsymbol{Ax}.$一般的线性映射称为线性算子。

连续性

我们先给出定义域是一维空间的向量值函数连续性的定义：假设有域$\mathbb{K}$及其上一邻域$U$，$X$是赋范线性空间，$f: \mathbb{K} \to X$是向量值函数，$x_0 \in U.$

1. 若$\lim_{x \to x_0} \| f(x) - f(x_0) \| = 0$，我们就称$f$在$x_0$处强连续。
2. 若$\forall f^* \in X^*, \lim_{x \to x_0} f^*(f(x)) = f^*(f(x_0))$，我们就称$f$在$x_0$处弱连续。

这两种连续性是由不同的拓扑（范数拓扑和弱拓扑）决定的，范数拓扑比弱拓扑更强。

如果$f$在$U$内每一点都是强（或弱）连续的，我们就称$f$在$U$上强（或弱）连续。有界闭集上的强连续函数是一致强连续的。如果$f$在$U$上弱连续，那么$\{ \| f(x): x \in U \| \}$是有界集。

当$X$是有限维线性空间时，上述两种定义等价，无穷维空间可能不等价。

当定义域是一般的赋范线性空间时，向量值函数的连续性不易描述，但是如果向量值函数是线性的，那么会有三种连续性，详见弱收敛#算子弱收敛性。

微分

我们可以像定义数量函数的微分那样引入向量值函数的微分：对于有限维的向量值函数，设$\boldsymbol{f}$是在点$\boldsymbol{x_0}$的附近有定义的$\R^n \to \R^m$向量值函数，若存在线性映射$\boldsymbol{A} \in \R^{n \times m}$使得$\boldsymbol{x \to x_0}$时成立

$$\boldsymbol{f(x)} = \boldsymbol{f(x_0) + A(x - x_0)} + o(||\boldsymbol{x-x_0}||)$$

我们就说函数$\boldsymbol{f}$在点$\boldsymbol{x_0}$处可微，这等价于该函数的每个分量函数都在点$\boldsymbol{x_0}$处可微。参见 向量值函数的微分一节。

对于一般情形，我们还是仅讨论定义域是一维空间的向量值函数$f: U \subset \mathbb{K} \to X$可微性的定义，假设$x_0 \in U$：

1. 如果存在$g(x_0): U \to X$使得$\lim_{x \to x_0} \left\| \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - g(x_0) \right\| = 0$，我们就称$f$在$x = x_0$处强可导，$g(x_0)$称为$f$在$x_0$处的强导数。
2. 如果存在$g(x_0): U \to X$使得$\forall f^* \in X^*, \lim_{x \to x_0} f^* \left( \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right) = f^*(g(x_0))$，我们就称$f$在$x = x_0$处弱可导，$g(x_0)$称为$f$在$x_0$处的弱导数。

强可导一定弱可导，在有限维情形二者等价。弱可导一定强连续。弱导数为零当且仅当原函数为常数函数。

一般线性空间之间的向量值函数的可微性将会归结于抽象函数的性质。

积分

向量值函数的积分主要有 Riemann 积分，Bochner 积分和Pettis 积分。Riemann 积分是数学分析中定积分的自然推广，后两者则是 Lebesgue 积分在强弱拓扑下的推广。

参考资料

1. 欧阳光中, 朱学炎, 金福临, 陈传璋, 《数学分析》, 高等教育出版社, 北京, 2018-08, ISBN 978-7-0404-9718-2.